MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

où l'on s'aperçoit que le cercle

sur une surface seinpathique

devient une figure plutôt scabreuse

autant y aller très mollo.

Considérons une colonie de dahrecteurs tous reliés à un piquet planté en O et orientés tout autour de ce point. Selon la longueur de la chaîne (même longueur pour chaque dahrecteur) qui les relie au piquet les dahrecteurs se répartiront sur la surface suivant un ensemble de points que nous pourrions appeler cercle (en référence à la figure ainsi définie lorsque nous sommes dans le plan) et dont le rayon serait la longueur de la chaîne*. Selon la longueur de la chaîne dans l'exemple ci-dessus nous constatons qu'en certains points deux dahrecteurs d'orientations différentes se chevauchent. Situation assez scabreuse au regard de celui qui avait appris que le cercle était une figure simple sans points doubles. Nous pouvons constater par ailleurs qu'un même point de la surface seinpathique peut être à deux longueurs de chaîne différentes du piquet. Ainsi un dahrecteur arrivant en ce point peut constater que la place a été broutée et devra se serrer la ceinture. La zone autour de l'attracteur est particulièrement riche en points de rencontre et l'herbe n'aura guère le temps d'y repousser avant qu'un nouveau dahrecteur s'y présente.       

Note :

        * Pour être correct il faut admettre que la chaîne (d'arpenteur... en l'occurrence) colle à la surface et mesure exactement le chemin parcouru par le dahrecteur (ce qui n'est pas le cas d'une chaîne sur laquelle on tire d'ordinaire) sinon notre proposition serait faussée. N'oublions pas également que le dahrecteur ne peut aller que de l'avant (à moins qu'il ne recule pour revenir sur ses pas... mais toujours en ligne droite) contrairement à la chèvre de Mr Seguin qui peut tourner autour de son piquet. L'Histoire ne nous dit rien quant à l'appétit des loups (jeunes ou vieux) pour les dahrecteurs. Certains prétendent, mais c'est à tort, que les dahrecteurs pourraient être la réincarnation de jeunes loups. Cette erreur pourrait trouver son origine dans un problème d'audition, l'homophonie entre dahrecteur et directeur étant proche. Pourrait-on concevoir de laisser se promener de jeunes loups sur une surface seinpathique ? Ce serait assez vicieux !.. puisque n'ayant aucune place dans notre fouthèse.

Dans le numéro précédent nous évoquions la difficulté de produire un quadrillage rectangulaire fait de lignes de courbure** pour une surface seinpathique quelconque.
L'image ci-dessus n'est (hélas...?...!) que la projection de la grille rectangulaire à droite. Elle ne produit donc pas sur la surface seinpathique un quadrillage rectangulaire.Cependant cet exemple nous permettra de saisir l'intérêt d'une telle quête.
La grille à droite comporte un ensemble de segments de droites (éléments simples). Grâce au quadrillage il est facile de repérer des points sur ces segments, les reporter sur la grille à gauche puis les joindre par une courbe continue. Nous verrons comment ces segments habillent la surface.
L'habillage de cette surface par les éléments a fait l'objet d'une exposition dans une vitrine à Roermond aux Pays Bas, à raison d'une image nouvelle par jour projetée.
En passant... vous remarquerez sans doute que ce réseau de lignes sur la surface aide à la lecture des "courbures" beaucoup mieux qu'une photographie de la surface. Il faudrait sans doute un bon éclairage pour saisir les délicatesses des variations de courbures. Par ailleurs bien que vide cette représentation semble remplie.

Vous essaierez mentalement de suivre avec les doigts chacune de ces lignes.

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CHARMATHAN

Pour bien faire nous eussions aimé que les images successives apparaissent sous forme de diaporama de manière à rendre plus pertinent l'habillage de la surface... mais soit nous n'avons pas le bon logiciel, soit nous sommes incompétent... toujours est-il que nous n'y sommes pas arrivé. Vous aurez donc dans quelques numéros des compositions qui rassemblent différents états du développement.

Les segments de courbes qui apparaissent sont les images de segments de droite sur la carte (ci-dessus) que vous pourrez essayer de retrouver. 

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CHARMATHAN

    En termes de mathologie le charmathan pourrait bien n'être que projection, alors que

le quadrillage, comme un corps transparent, pourvoyeur de la structure sous-jacente, disparaît.

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SEINPLIFICTION

 Abandonnons pendant quelques numéros les préoccupations théoriques pour présenter certains résultats. Sur cette figure les lignes n'ont pas été obtenues en employant des dahrecteurs mais en déroulant du ruban adhésif. La procédure est mathématiquement équivalente et permet de tracer sur la surface des "droites".

Nous verrons également au fil des prochains numéros comment les quelques signes laissés sur les surfaces seinpathiques ont orienté le travail plastique vers la calligraphie puis vers une écriture que nous appellerons seinpathique eu égard à ses origines.

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MATHRIARTCAL*

 Sur ces figures nous pouvons comparer les effets produits par un morceau de surface à courbure positive d'une part et un morceau de surface à courbure négative d'autre part sur l'allure prise par les "droites". 

Revenons sur la notion de limite évoquée dans "surfaces seinpathiques n°1".

Une surface considérée par un mathématicien ne suppose pas nécessairement de représentation visuelle. D'autant moins qu'il peut considérer cette surface (ou variété) définie dans un espace qui possède plus de dimensions que notre espace commun. Cette surface n'a, pourrait-on dire, qu'une consistance mathérielle.  Si, bien souvent toutefois, il tente d'en donner une représentation (... schémas, traits de crayons... (souvent compréhensibles seulement  par lui même)) ces dessins ne servent qu'à fixer visuellement quelques éléments qui soutiennent l'étude et pourront à l'occasion servir de repères. L'ensemble de ces dessins sur les pages d'étude ont le charme des croquis qui accompagnent l'élaboration du projet chez le peintre ou plasticien. Le mathématicien s'intéressant aux propriétés que recèle cet objet ou bien aux relations que celui ci peut entretenir avec tel autre objet déjà étudié ou connu, lorsqu'il aura achevé son étude ou bien assimilé son sujet il oubliera sans doute ces supports visuels qui n'auront servi que de catalyseurs. Il sera prêt pour fournir une synthèse abstraite qui pourra s'exprimer dans un langage où la représentation visuelle n'est pas nécessaire.

Malgré tout, le mathématicien n'est pas un être abstrait ou bien une machine pensante...c'est un sujet humain.  Il faudrait être naïf d'imaginer que l'interrogation qui met en mouvement la pensée du mathématicien (celui là à qui vient le premier cette interrogation) tombe du ciel (le paradis inépuisable des questions mathématiques). Ce paradis est bien plutôt très concret : c'est celui qui part de l'émerveillement, suscite de l'étonnement, provoque un questionnement, entraîne le désir de compréhension et met en mouvement tout le travail d'élaboration. L'émerveillement pourrait bien être regardé comme la limite... lorsqu'on parle de fonction. Si la fonction est continue la limite sera atteinte... si la fonction n'est pas continue, encore moins non définie en ce point, la limite peut encore exister et agir comme but vers lequel toute l'attention tend sans pouvoir l'atteindre.

L'artiste s'inquiète (globalement) peu des raisons qui relient chacune de ses réalisations. Si un chemin doit se dessiner au terme de toute sa production, ce dernier se définira comme la suite des éléments posés. Si il y a une logique ou lien qui transcende à l'ensemble des éléments, cette logique peut lui échapper consciemment. Il ne concentre pas son attention sur celle-ci ( la rigueur démonstrative) contrairement au mathématicien. 

Dans un système mathriartcal il n'est pas possible de dissocier (séparer) les composantes : mathématique et sensible. Cette imbrication des deux composantes peut conduire à une limitation dans l'altitude que chacune peut atteindre dans son domaine propre. Le chemin suivi dans un système mathriartcal est une courbe ou fonction des deux variables, l'une mathématique, l'autre sensible.

Dans le prochain numéro nous aborderons une lecture en terme de courbe ou fonction d'une situation mathriartcale. 

Notes :

         * Mathriartcal : Nous sommes dans un système mathriartcal lorsqu'il est impossible de séparer l'influence et l'apport réciproques de l'art et des maths. 

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GAMMES de DOS

Considérons le graphique ci-dessous.

En abscisse : la composante sensible s. En ordonnée : la composante mathématique m. 

Pour chaque valeur donnée du temps t nous portons sur le graphe la valeur que prend la composante m et la composante s à cet instant. Pour un autre temps t' nous aurons un autre point. Joignant les différents points du graphe pour un segment de temps [t,t'] nous aurons un segment de courbe décrivant l'évolution du parcours du sujet dans le plan mathriartcal { m,s }. Nous supposons bien entendu qu'il est possible de joindre ces points sinon cela voudrait dire que nous avons à faire à un sujet au comportement totalement instable ou incohérent.    

La lecture des courbes se fait en suivant les flèches qui marquent la progression du temps.

La courbe 1 décrit le parcours d'un sujet dont on peut dire que les préoccupations sont plutôt mathématiques tandis que la courbe 2 révèle un comportement plutôt sensible. La courbe 3 représente un comportement que nous appellerons mathriartcal, la composante mathématique ne l'emportant pas exclusivement au regard de la composante sensible et vice-versa. Observant ces courbes nous remarquons que le sujet présente dans son parcours des périodes de régression. Nous ne pouvons pas savoir si ces périodes correspondent à des dépressions ou bien à un retrait correspondant à une remise en cause préalable à un nouvel élan. Nous observons également des coupures ou discontinuités. Certaines correspondent à des ruptures ou renoncements, d'autres peuvent être regardées comme des sauts dus à des étincelles de génie (?) temporaire. Sur la courbe 3 nous relevons un point autour duquel la courbe s'enroule. Nous pouvons considérer que le sujet a trouvé son équilibre (temporaire ?) et qu'il se concentre sur son objet.

Sur ces courbes le temps n'apparaît pas. Il n'est pas possible de connaître la durée du segment [t,t']... cela peut être toute la vie ou bien seulement une courte période. Ainsi le point autour duquel la courbe 3 spirale peut être une chimère, un fantasme, une intuition que le sujet a entrevue et qui agit comme un attracteur ou un point limite. Ce point n'a peut-être aucune réalité mais c'est vers lui que le sujet tend sans jamais pouvoir l'atteindre. Il peut consacrer toute sa vie, s'épuiser à cette quête... et ne rien produire de révélateur.... C'était une fausse piste ? Pas certain ! Peut-être que ce n'était que la marque de ses limites et quelqu'un d'autre retrouvant sa recherche et la poursuivant atteindra ce point, le dépassera... auquel cas ce point qui apparaissait comme une limite s'avèrera comme un point continu dans un parcours étendu à plusieurs sujets et plusieurs générations.

L'appellation mathématique et sensible est sans doute réductrice. Nous l'avons retenue car elle marque la séparation de deux composantes toutes deux humaines, que très souvent nous mettons en opposition (en conflit ?) mais qui reflète plutôt la complémentarité ( ou supplémentarité) de deux espaces qui sont la marque de notre essence (humaine ?). 

 En rappel du moment poétique évoqué dans "surface seinpathiques n°1" :

Quel que soit epsilon strictement positif, il existe alpha strictement positif tel que : si x moins a en valeur absolue est strictement inférieur à alpha, alors f de x moins l en valeur absolue est inférieur à epsilon.         f de a  peut ne pas être défini ou bien différent de l 

Comment cette expression écrite en signes mathématiques serait traduite dans le langage de cette machine via internet ? Mystère ! elle serait incompréhensible sans nul doute... autant se reporter à "surfaces seinpathiques n°1" 

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vers

une peau lisse d'écriture

où

SURFER

ne devient pas insignifiant *....

Poursuivons notre réflexion sur le plan mathriartcal.

Il est possible d'essayer de représenter dans ce plan notre propre parcours.  Cela n'ayant qu'un intérêt limité à notre introspection, penchons nous sur les différents cas de figures représentés ci-dessous.   

Les parties colorées correspondent chacune à des zones dans lesquelles les parcours évoqués au numéro précédent peuvent être circonscrits. Nous remarquons que pendant une partie les différentes zones se chevauchent toutes puis qu'elles se séparent. Cette partie correspond au fait que chaque enfant dans un premier temps est perméable presqu'autant au sensible qu'au mathématique... sauf pathologie.   

Considérons dans cet exemple les deux sujets 1 et 2 dont les préoccupations ou comportements correspondent aux zones indiquées. Hors mis le départ, ces deux zones ont une intersection non vide. Nous pouvons espérer que sur le domaine correspondant à l'intersection ces deux sujets puissent échanger, se nourrir, s'enrichir mutuellement et permettre à chacun de développer son parcours personnel**. Par contre les sujets 1 et 4, même si ils ont l'occasion de se côtoyer, ne profiteront pas de leur travail réciproque car les domaines de préoccupations n'ont pas de point commun. Bien entendu ceci ne permet pas d'exclure que le sujet 4 ait de la sensibilité pour apprécier et déguster la production du sujet 1 mais seulement celle-ci ne fera pas écho dans son parcours (à transposer dans le cas de 1).

Dans cette schématisation nous sommes dans un plan {m,s} où les parcours ne sont pas des lignes droites. Il n'est pas impossible d'imaginer une surface {{M,S}} où ces parcours seraient des "droites" de celle-ci. Au départ les parcours seraient "parallèles" puis se mettraient à diverger, se recroiser éventuellement ou bien s'écarter... (revoir à cette occasion le " surfaces seinpathiques n° 12).

Ce qui était le temps pour le plan {m,s} devient sur la surface {{M,S}} la mesure du chemin parcouru sur la "droite" (abscisse curviligne sur la géodésique). Un temps long dans {m,s} peut très bien correspondre à un chemin court dans {{M,S}} et respectivement court et long. Un chemin long correspondant à un temps court signifie un développement rapide du sujet dans ses préoccupations. Un chemin court pour un temps long une stagnation. Une discontinuité peut être regardée comme une  bifurcation ou autre catastrophe ( à vérifier... ou approfondir). Ceci dit... c'est une autre affaire de percevoir quelle surface pourrait être cette {{M,S}} et si elle peut exister ! Serait-elle seinpathique ?

Nous nous limiterons à cette rapide évocation du plan mathriarcal. Cette évocation permet de saisir le lien qui existe et rend inséparables les préoccupations mathématiques des résultats qui vont suivre.  Les préoccupations mathématiques peuvent, en cette occurrence, être regardés comme la charpente qui permet à l'édifice d'exister mais le résultat obtenu... disparaissent au regard. Nous pourrions considérer l'objet dans la zone 1 alors qu'il se situe par nature dans la zone 5.

Notes :

        *    Surfer : notre dahrecteur avec sa planche (plan tangent à la surface) ne surfe-t-il pas ? 

        **  Comme nous avons remarqué que la position dans {m,s} ne nous disait rien sur le temps t auquel il est attaché, il se peut très bien que la rencontre de 1 et 2 ne coïncident pas dans le temps... il y a coïncidence seulement des préoccupations ! ... ça peut donner de l'espoir aux génies méconnus ! Il ne faut pas trop rêver quand même ! C'est tout de même mieux si il y a coïncidence dans le temps et dans les préoccupations...

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la nécessité hait-elle le hasard ou le hasard nait-il que de la nécessité?

BIFURCATION

ou

le hasard et la nécessité !

Notre trajectoire dans le plan mathriarcal {m,s} ou sur la surface {{M,S}} à un moment donné subit une "bifurcation". Alors que la progression mathématique piétinait notre oeil sensible perçut dans ces lignes des allures de signes calligraphiques. Fallait-il renoncer au plaisir de caresser la surface avec l'appareil photographique, combiner les signes et s'adonner ensuite au plaisir de remplir des pages d'écriture ? L'art calligraphique qui est une caresse de la feuille de papier a toujours suscité notre intérêt. Cet art nécessite une grande pratique et nous n'avons jamais consacré l'énergie nécessaire. Sans cette plongée dans l'étude des surfaces seinpathiques sans doute serions nous à jamais passé à côté.

Sublimathion : Transformation de certains instincts ou désirs, qui passent, par un mécanisme le plus souvent zygomathique, sur un plan seinbolique. La sublimathion permet d'établir la correspondance entre l'effet Pygmalion en mythologie et la mathamorphose en mathologie.

En mathaphysique on parle égazlement de sublimathion lorsqu'un corps passe directement de l'état solide à l'état gazeux. Un corps qui se sublime se refroidit.

En pzygomathie on considère que la sublimathion est un mécanisme généralement inconscient qui consiste à orienter une pulsion vers un but différent de son but primitif, but que le sujet considère plus imathginatif .

(dictionnaire de Mathologie)

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"Rechercher plutôt l'ombre causée par la lumière que la lumière elle-même"

Okada

mais lorsque tout est  éteint ... cela n'en demeure pas moins seinpathique,

ne resterait-il que ".... les démonstrations mathématiques, sans lesquelles je suis aveugle" !

Kepler , L'harmonie du monde

Bien conscient de n'avoir pas exprimé clairement le fond de notre pensée

la forme Email n'étant pas la plus adéquat

de larges zones obscures demeurent.

Nous mettrons un terme (ou bien une pause)  à ce parcours seintifique des surfaces par cette image paradoxale obtenue par hasard

... et cette phrase également trouvée par hasard :    

" Le paradoxe est la passion de la pensée; un penseur sans paradoxe est comme un amant sans passion"

  (Kierkegaard).

incitation... citations... excitation

prothèse... fouthèse... seinthèse

Dans les prochains numéros ( et quelques semaines de répit) nous traiterons d'une mathaphore :

La Vie :    ( la chute d'un corps )    et     ( l'escargot et le chemin de croix ) ! 

l'une et l'autre ayant fait l'objet d'une installation dans le cadre de deux expositions.

Dans les numéros suivants nous nous consacrerons à l'étude des surfaces Basiques. Bien que, au premier regard, une surface basique semble plus simple qu'une surface seinpathique, nous découvrirons que la thématique du bas nous conduit dans de longs débats et qu'il faudra en découdre.
Nous amorcerons le long débat en évoquant la notion de Ready-math, signalée dans le dictionnaire de mathologie et dont la définition est la suivante :

Ready-math : Théorie ou objet mathématique dont l'usage est répandu et que l'on trouve dans le commerce. L'addition, la soustraction,... sont des ready-maths parce qu'on les trouve incluses dans les calculettes. La banalisation des ready-maths tend à faire oublier toute leur puissance et leur originalité. Il faut s'arrêter et poser un regard attentif sur un ready-math pour redécouvrir toute sa richesse.

Ainsi, nous sommes fréquemment confrontés à des surfaces basiques, que ce soit dans la rue ou bien à la vitrine des boutiques spécialisées. L'occasion ne nous laisse guère le temps de nous arrêter, ou bien, par crainte d'être montré du doigt comme névromath, n'accordons nous pas le temps nécessaire pour découvrir ce que celles-ci contiennent de topologique. La topologie est une partie non négligeable des mathématiques dont le développement s'est déployé au siècle dernier et se poursuit de nos jours. Cette science traite des propriétés communes aux surfaces continûment déformables. Pour les mathomaniaques fétichistes cette science pourrait être regardée comme la science des surfaces en latex *.

Les considérations abordées dans le cadre de l'étude des surfaces seinpathiques nous ont amené à étudier une catégorie de lignes tracées sur les surfaces, appelées géodésiques, en introduisant cet animal singulier qui avançait en ligne droite : le dahrecteur. Nos connaissances, tant en topologie qu'en matière de latex, étant assez limitées nous tenterons d'aborder certaines propriétés de la topologie des surfaces basiques par le biais de la ligne, du maillage ou mathissage.

Note :
* Pour le topologue il n'y a aucune différence entre une sphère et un verre à pied. Par déformation continue on peut transformer l'un en l'autre. Par contre une tasse avec anse est une bouée de sauvetage ou tore. (si vous perdez pied accrochez vous à cette image)

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Résille

un

exemple de ready-math

Une surface basique, dont le bas ou collant peuvent être regardés comme des ready-maths, est (par définition) une surface enveloppante*. Pour en aborder l'étude nous considèrerons la forme développable simplifiée que constitue le cône. Cône et surface basique sont topologiquement identiques. Tout cône peut, par déformation, envelopper une jambe...  réciproquement tout bas peut envelopper un cône ! En soi, jusque là rien de très mathlin !  Ainsi, Monsieur Jourdain, s'il était né à l'ère de la topologie, aurait pu s'exclamer qu'il est topologue quand il enfile ou remonte ses bas. 

Observons d'abord comment il est justifiable de considérer l'exemple ci-dessus comme un ready-math. Le réseau de lignes dessiné par cette résille ** peut être regardé comme une carte de la surface basique qu'elle enveloppe, paramétrée en (u,v). Nous pouvons nous repérer sur la surface en donnant les valeurs de u et v correspondant au point où nous nous situons... à la manière (abscisse, ordonnée) ou (latitude, longitude). Par un changement de variables nous pouvons obtenir le paramétrage (x,y) ci-dessous, obtenu en traçant les courbes "diagonales" du réseau précédent. Ceci ne semble pas vous étonner mais suppose une cohérence. Si le premier des paramétrages n'était pas cohérent... il y aurait des trous dans le second***. La cohérence est l'essence des maths... sinon on pourrait affirmer tout et son contraire et finirions dans l'errance.

Lors de l'élaboration un peu hâtive du second paramétrage, la cohérence fut d'ailleurs mise à l'épreuve. Ce qui, au premier regard, semblait cohérent s'avérait faux lorsque nous poussions plus loin notre étude. Il fallut agrandir considérablement l'image avec son premier paramétrage pour découvrir les endroits où nous avions fauté, par précipitation ou négligence, lors de l'élaboration du second. Tout matheur expérimenté sait combien il ne doit pas se laisser emporter par les évidences, troubler, distraire mais garder un oeil attentif sur le colis matheur qui permet de découvrir là où le bas blesse ! 

Dans le prochain numéro nous observerons comment grâce à ce paramétrage il est possible, en l'absence de l'objet initial, de concevoir mathodiquement le rendu de différentes enveloppes basiques. Certaines plus significatives du volume, d'autre plus design.  

A suivre...

Notes :

            *    Enveloppante ou enveloppable sont synonymes... ce n'est sans doute qu'une question de point de vue. Certains, emportés par leur élan, les nomment "envoûtantes". Songent-ils, alors, aux croisées d'ogives de nos cathédrales gothiques qui ont les saints à l'intérieur ou bien à quelques jambes arquées ? Nous ne saurions répondre.

            **  Ces courbes ne sont certes pas des géodésiques... elles n'ont pas été tracées par quelque dahrecteur... qui monte... qui monte.

            ***  ll nous faut être plus précis : Plutôt que cohérence nous devons parler de règle interne qui permette de passer d'un rang à son suivant. Il est toujours possible de produire un paramétrage sans règle de succession. Les "diagonales" pourront être tracées... au pire par des segments joignant chaque sommet opposé. Nous aurons deux types de repérage sur la surface basique. Quelle information aurions nous à l'oeil ( n'oublions jamais que nous mathons... l'oeil est l'outil principal du matheur, même si le colis matheur propose bien d'autres outils abstraits) ? Donc la "cohérence" est ici une règle qui permette à l'oeil en passant d'un paramétrage à l'autre de reconnaître et identifier la même surface. Certains paramétrages donnent plus d'informations ou sont plus éloquents... au regard de ce qu'on cherche. Notre "conjecture" (le mot est un peu fort.... tant pis) est que le paramétrage bien choisi nous en dit plus que la surface entière ( au sens de : avec toute sa chair, ou bien encore pour essayer d'être plus précis : la résille plutôt que le latex... une topologie de la résille plutôt que du latex ou bien la gravure au burin plutôt que la peinture). Il existe moult règles pour paramétrer une surface : pensez aux différentes cartes de notre terre... si on ne vous avait pas enseigné que la terre était ronde (sphérique...) il n'est pas évident qu'en regardant certaines de ces cartes vous puissiez l'imaginer telle.