MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

 " Honi soit qui mal y pense " *

Béni soit qui math y pense .

ou

comment rattacher cette page au débat.

Dans le numéro précédent nous avions évoqué les "ovales de Cassini " et les hyperboles orthogonales. Voici, ci-dessous, la reproduction de quelques unes de ces lignes que nous avons peintes à la gouache sur papier noir (50 x 36cm) ... car nous ne sommes pas indifférent à la matière du trait **.

Image abstraite et plaisir concret... Fi de la composante d'Euler dans ce numéro !, mais nous ne saurions résister au désir de vous faire partager ces quelques moments de plaisirs qui accompagnent et jalonnent notre progression. Ce ne serait pas en vain que nous vous imposerions les mathématiques... si en chemin vous trouviez l'ivresse ! 

A suivre...

Notes :

                *  Le Nobilissime Ordre de la Jarretière (de l'anglais : Most Noble Order of the Garter) est un ordre de chevalerie britannique, fondé en 1348, en pleine guerre de Cent Ans, par le roi Édouard III.

Selon la légende, la création de cet ordre aurait été décidée par le roi Édouard III lors d'un bal à Calais, où il dansait avec sa maîtresse, la comtesse de Salisbury. Celle-ci ayant, en dansant, fait tomber sa jarretière, le roi, galamment, la ramassa sous les quolibets des danseurs, la mit à son genou et coupa court aux railleries par ces mots : « Messieurs, honni soit qui mal y pense. Ceux qui rient maintenant seront très honorés d'en porter une semblable, car ce ruban sera mis en tel honneur que les railleurs eux-mêmes le chercheront avec empressement. »

La devise de l'ordre est : « Honi soit qui mal y pense », avec un seul n, certainement à cause de l'orthographe moins contraignante de l'époque. (encyclopédie Wikipédia)

                ** Revoir à cette occasion " surfaces seinpathiques n° 21 et n° 22 " sur la composante sensible et la composante mathématique.

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 Être ou Poêtre ?

là est toute la question !

il ne suffit pas de remplir des verres,

encore faut-il ne pas renverser.

Bien qu'à l'envers

ça fasse

resVer

les pieds réservent parfois

quelques

reVers   et    Déboires

compter les pieds est trop sévère

et ne rime pas à grand chose

Fi de la philosophie du comptoir

et

Vive le

VERS LIBRE*

En préparation du passage à "la Scène Poétique" et pour vous communiquer l'information, le cycle normal des Mathazines est modifié.

L'information officielle avec lieu, date et heure est en pièce jointe.

Nous ne poêtrons pas plus haut que notre QI le permet

Mais

Plus nous serons de foule plus ...

nous zygomatherons.

Note :

            * Le vers libre est à consommer sans modération.

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une mathamorphose des ovales de Cassini et des hyperboles en SEINSECTE

Le Pathex,...Le LatHex,...Le MatHex..

ou

P,L,M *

Dans les quelques numéros qui vont suivre nous allons tenter de vous donner (sommairement) une interprétation en termes de couture (au sens des ateliers de couture) de la topologie des surfaces **. Cette interprétation a pour objet de vous illustrer la mathamorphose d'un concept mathématique en un objet sensible.¨Pour le topologue, par exemple,  une surface peut se traverser sans problème... comme si vous traversiez sans plus de soucis les murs ! Ceci ne pose pas de problèmes tant que nous considérons une surface comme un concept... il suffit de se donner des règles et jouer avec. Pour le mathologue l'affaire est un peu plus délicate... par exemple il n'est pas concevable d'imaginer "l'origine du monde" comme un pur concept. Il faut être un peu plus concret, si nous voulons rendre sensible la mathamorphose d'une telle singularité... conceptuelle. Nous devrons donner des représentants sensibles des concepts, susceptibles de respecter les règles en vigueur ou bien, définir certaines règles qui ne soient pas en contradiction avec les règles en vigueur. Il serait absurde et fallacieux de tenter d'utiliser l'outil mathématique rigoureux en ne l'étant pas nous même.... autant dire n'importe quoi... ça irait plus vite. Le Monde existe, se fiche pas mal de son origine, encore plus d'y comprendre quelque chose.

Le Pathex sera le noeud car il permet de coller, mettre bout à bout.

Le Lathex sera le fil, que vous utiliseriez pour faire la couture. En mathologie ce fil est totalement élastique puisque il peut s'allonger à l'infini et se contracter à rien... du super latex !

Le Mathex sera la matière qui constituera la surface. Une matière également totalement élastique puisqu'elle peut se dilater à l'infini et se contracter à rien.

Le mathex est totalement opaque mais invisible, alors que le lathex est visible à qui sait y regarder de près. Ce qui explique que  dans les ready-maths pour surfaces basiques on ne voit pas à travers alors que la résille reste visible dans les parties non cachées par le mathex.

Le pathex à la propriété étrange et particulière de se dissoudre dans le lathex, ce qui fait que lorsque vous avez arrêté ou bouclé une couture , vous n'arrivez plus à savoir où il est. Une propriété étrange du pathex est que lorsque vous coupez au Mathssicot un morceau de lathex ou une boucle... le noeud ou pathex réapparaît... et tombe dans le sac de noeuds. 

Le lathex ne se dissout pas automatiquement dans le mathex, ce qui fait que l'on perçoive encore souvent les coutures. Cependant lorsque vous coupez un morceau de mathex au mathssicot apparaît un bout de lathex.... mais, comme il se rétracte totalement, si vous ne prenez pas soin... il vous glisse entre les doigts et disparaît. D'où la nécessité d'avoir un sac de noeuds en réserve pour arrêter les bouts. Le fil se rétracte bien sûr mais il est bloqué entre les noeuds qui, eux, ne peuvent disparaître. Certains mathologues sont tenté d'interpréter le mathex comme une "infinité" de fils de lathex collés les uns à côté des autres. Ca vaut ce que ça vaut mais ça donne une explication au fait qu'en coupant au mathssicot vous fassiez apparaître un fil. La suggestion est étrange car en collant une infinité de fils de lathex visibles les uns uns à côté des autres on aurait du mathex invisible. 

En termes de caractéristique d'Euler le pathex a une caractéristique 1, le lathex -1, le mathex 1. En termes de dimension spatiale le pathex est de dimension 0, le lathex de dimension 1, le mathex de dimension 2. Concepts mathématiques valables en dehors du cadre de la mathologie.

En combinant le lathex de dimension 1 avec la mathex de dimension 2 on obtient le Mathlathex *** de dimension 3. Disons que c'est la mathière totalement élastique sur laquelle on peut se reposer pour construire... l'univers ? A voir ! Mais en se reposant sur le mathlathex, il est possible de rêver et refaire le monde ! ****

A suivre...

Notes :

                *   "PLM... à ce train on est pas prêt d'en voir le bout" . De fait , nous avons tout notre temps. Si vous êtes pressé prenez le TGV , quittez Mathazine momentanément. Nous vous signalerons lorsque nous serons arrivés. Mais à grande vitesse ne venez pas vous plaindre que vous n'avez plus le temps de mater !          

                **  La partie de la topologie qui nous est nécessaire à la bonne compréhension des surfaces enveloppantes façon résilles ou ready-maths. 

                *** Dans "surface basique n° 14", en évoquant les trous dans le gruyère, nous avions parlé déjà de mathex. Nous devons maintenant préciser : au gruyère correspond le mathlathex... ce qui permet, nous a-t-on rapporté, de comprendre pourquoi le gruyère est caoutchouteux. Le mathex qui constitue le bord séparant le gruyère de ses trous aurait-il la propriété de se dissoudre dans le mathlathex ? Le problème étant la disparition des trous dans la fondue et le gruyère râpé... Tout ceci est encore loin d'être clair. Nous restons pour le moment à la surface... plus tard nous approfondirons et tâcherons de pénétrer au coeur des choses.

                **** Dans le tableau de Gustave Courbet le modèle qui montre l'origine du monde repose sur un matelas. Est-elle en train de rêver ? Est-ce un top modèle ? En mathologie nous avons affaire à des tops modèles mathématiques... ce qui permet de rêver au meilleur des mondes possible. 

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ceci n'est pas un cercle vicieux en lathex

mais nous avons concrètement un vrai sac de noeud

Le CERCLE VICIEUX

et

Le SAC de NOEUDS 

Considérons une boucle de lathex.

Celle-ci constitue un cercle vicieux*. Que cette boucle soit étirée à l'infini ou bien qu'elle se contracte, elle demeure visible (accrochable pour être plus précis) mais nous ne pouvons rien en tirer. La chose est fermée sur elle même. Nous verrons que sa caractéristique est 0.

Coupons ce cercle vicieux à l'aide de notre Mathssicot. Nous faisons apparaître un noeud en pathex et un bout de lathex. Le noeud reste visible et tombe dans le sac de noeud alors que le bout de lathex se rétracte et disparaît de la vue si nous ne le bloquons pas. Si le bout de lathex n'est plus visible cela ne veut pas dire qu'il n'existe plus. Nous serions tenté de dire, en prenant la comparaison du couple particule-antiparticule que seul le noeud, comme la particule, existe. Mais nous connaissons actuellement, par certaines expériences, l'existence des antiparticules. La caractéristique du noeud en pathex est 1, celle du fil de lathex est -1. La somme de ces deux caractéristiques fait que lorsque nous reconstituons ou décomposons un cercle vicieux nous obtenons une caractéristique 0 pour celui-ci.

Pour bloquer le bout de lathex avant qu'il ne disparaisse à notre vue il faut lui coller deux bouts ou deux noeuds. Coupons deux cercles vicieux au mathssicot : deux noeuds  et deux fils. Avant que l'un des deux fils ne se rétracte complètement on lui colle à chaque "bout" un  des noeuds qui était tombé dans le sac de noeud. Le fil pourra se rétracter mais comme les noeuds ne peuvent disparaître et demeurent séparés... le fil ne disparaîtra pas de notre vue. On pourra l'étirer au besoin en saisissant les noeuds. La caractéristique d'un tel segment est (2 x 1) + (- 1) = 1. Partant de plusieurs cercles vicieux que nous coupons nous pouvons faire apparaître des segments et des noeuds visibles. Ceci nous laisserait croire à un déséquilibre entre constituants puisque nous ne percevons que des éléments de caractéristique 1. C'est ignorer la présence invisible ou cachée des constituants de caractéristique -1.

En partant de cercles vicieux on peut faire apparaître des constituants de caractéristique 1.... il suffit de mathssicoter. En passant nous devons signaler qu'il sera possible de défaire les bouts du segment, si besoin ; le ou les noeuds retourneront dans le sac de noeuds... attention que le fil ne vous file pas entre les doigts

A suivre...

Notes :

                *   Nous considérons qu'avant l'apparition de toute singularité il n'y avait que des cercles vicieux. Ceux-ci demeurent dans un état stable tant qu'aucune intervention extérieur ne vient rompre le charme. L'effet des cercles vicieux étant nul, ceux-ci peuvent exister sans aucune conséquence.

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ici, depuis des générations,  d'épeire en fils ... on  tisse la toile.

Là où l'art régnait

filait

la Mathaphore.

Observons sur les schémas suivants la progression qui part du, puis des, cercles vicieux pour amorcer la création d'un élément de nature surfacique.

 En premier nous coupons au mathssicot un cercle vicieux en faisant apparaître deux noeuds ou pathex et deux fils ou lathex que nous ne laissons pas nous filer entre les doigts. Ensuite nous refermons et nouons un des fils en prenant soin que le cercle vicieux que nous reconstituons entoure le noeud restant. Le dernier fil peut disparaître de notre vue si nous le relâchons. Comme il existe toujours nous l'avons, volontairement, laissé visible sur notre schéma.

Bilan des caractéristiques : A l'origine 0 (le cercle vicieux), puis 2 x (+1) + 2 x (-1), puis dans la solution finale (0, +1) + (-1). Le coulpe (0,+1) marque le fait que nous avons créé une situation nouvelle ou être nouveau : un cercle vicieux entourant un noeud. *

Dans un second temps, nous nous saisissons d'un nouveau cercle vicieux que nous coupons en quatre, que nous venons coudre ou coller au couple (0,+1) comme indiqué sur le schéma. Dans le dernier dessin de cette deuxième étape nous avons fait disparaître les noeuds de pathex qui se dissolvent dans le lathex, conformément à ce que nous avions indiqué dans le surface basique n°18.

Faites le bilan des caractéristiques : (9 x (+1)) + 8 x (-1)) + (-1) = 0. Si nous distinguons les noeuds qui servent à faire les coutures et les noeuds qui sont entouré de fil, nous pouvons écrire : (5 p +  4 m)  - (8 l) ; p pour pathex ou noeud, m pour pathex entouré et l pour lathex. Si nous interprétons pathex entouré de lathex... nous verrons que nous pouvons l'identifier à du mathex....Nous y reviendrons dans un prochain numéro.... nous pensons toujours aux trous dans le gruyère râpé !

Dans un troisième temps nous n'avons fait que répéter la procédure qui nous permet d'étendre la figure.

Faites le bilan des caractéristiques  : (9 p + 8 m - 16 l) + (-1) = 0.**... Nous avons pris soin de garder en vue le fil de lathex qui est en trop et qui se rétracte. Nous verrons que celui-ci pourra être considéré comme l'ensemble des points à l'infini du plan.... pas étonnant qu'on ne le voit plus, bien qu'il soit présent.

Nous voyons ainsi apparaître comment, en partant de 0, on réussit à créer.... le bilan final étant toujours nul... Rien ne se perd, rien de secret, tout se transporte ...   

A suivre...

Notes :

                *  En passant remarquons :

Le cercle vicieux habite et pullule dans le "néant" *. C'est "rien" d'une certaine façon et pourtant c'est de lui que tout surgit par l'intervention extérieure du mathssicot. En cela nous ne sommes pas très éloigné de ce que l'on appelle le "vide quantique"... du vide qui n'est pas si vide que cela en ce qu'il recèle toute la potentialité d'un devenir ; devenir dont l'univers que nous habitons est l'un des résultats. Nous disons "l'un des résultats" car c'est celui que nous connaissons mais les théories quantiques diverses envisagent d'autres univers parallèles... que nous n'avons pas encore perçus ! Qui a massicoté ou mathssicoté le vide quantique ? Là est la question !

                ** Dans la littérature mathématique on voit plutôt écrit : (p - l + m) où p représente le nombre de sommets, l le nombre d'arêtes, m le nombre de facettes, généralisée en (p - l + m - ml)  où ml correspond aux éléments de volume, pour nous notre mathlathex...  en prévision du gruyère. 

Note de Notes :

                   * "Etre est néant" devint  être et néant" puis "être étant né"... voir Naissance de l'irrationnel, une étude ancienne de l'institut de Mathologie.

Ndla :

                Nous avons bien conscience que tout ceci peut ennuyer le lecteur dont l'intérêt pour la mathologie est superficiel. Nous le comprenons. Ces méandres sont cependant nécessaires. Qu'il mette à la poubelle ces numéros. Avant de le faire, qu'il y jette un oeil... quelque fois qu'il y aurait des images à mater. 

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ici,*

p = 16,  l = 32,  m = 16

p  - l  + m  = 0

Un tore ne serait-il qu'un cercle vicieux un peu plus gonflé ?

Dans le numéro précédent nous avons vu comment, à partir de cercles vicieux, nous avons obtenu un disque de caractéristique 1. Un bout de lathex -1 restait cependant de côté. En passant nous signalons que par déformation continue, tout simplement, nous passons du disque au carré qui représente un maillage du plan plus commun. 

La procédure suivante nous montre comment on obtient un disque percé ou bien une couronne. Vous constatez qu'il n'y a plus de fil de lathex en reste et que la caractéristique est égale à 0. En étirant cette couronne nous obtenons un "cylindre" **. Maintenant il suffirait de faire se rejoindre les deux extrémités de ce "cylindre" , d'ôter un des deux cercles et renouer les bouts sur le cercle restant pour obtenir un "tore". Nous ne modifions pas la caractéristique.

A titre d'exercice vous pourrez essayer de construire la procédure qui permet de fabriquer un "cylindre" à partir du maillage carré représenté dans la première image. Il ne s'agit plus d'étirer. Vous constaterez que le fil de lathex qui était en trop redevient un cercle vicieux.

Dans la procédure qui nous a conduit au tore nous avons fait se rejoindre les deux cercles extrémités du "cylindre" d'une certaine manière... disons par l'extérieur. Mais il y a une autre manière pour faire se rejoindre ces cercles. Dans le prochain numéro nous vous en montrerons le dessin. Vous vous apercevrez qu'il était prudent de mettre des guillemets et se souvenir qu'il n'y avait pas de mathex... que le noeud vert que nous interprétions  (dans la note) comme du mathex potentiel laisse du vide... car sinon il faut admettre que l'on puisse traverser le mathex comme les fantômes traversent les murs.... Cela n'embarrasse pas les mathématiciens, cela gène un peu les mathologues. Il faudra peut-être nous y soumettre... nous préférons remettre cela à plus tard.  

A suivre...

Notes :

                *   Dans cette image nous avons pris soin de changer la couleur des noeuds (tous issus du mathssicotage des cercles vicieux) : Rouge pour les noeuds

qui sont réutilisés pour assembler ou recoudre les bouts de lathex, Vert pour les noeuds qui entrent à l'intérieur d'une maille. En l'état actuel, nous ne pouvons pas encore affirmer que nous avons une surface. Il faudrait interpréter les noeuds vert comme étant du mathex cousu par les fils de lathex bleu pour avoir une surface. Mais comme le mathex est opaque nous ne verrions pas les parties cachées.              

                **  Nous mettons des guillemets car tant qu'il n'y a pas de mathex nous ne pouvons pas vraiment utiliser le terme de surface (au sens habituel) sans prendre, au stade actuel, des précautions .

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Pour varier le menu ou bien faciliter le transit temporaire vers l'été

Mathazine vous offre une  salade à décomposer. *

C'est gratuit

mais

  Soyons précis !

Observant la précision annoncée sur cette étiquette et sachant que la masse volumique de la salade est voisine de 1gramme par centimètre cube ; valeur que nous adopterons.... pour simplifier !

Vous calculerez les dimensions du morceau de salade correspondant au centième de gramme.

La réponse est de 1mm x 1mm x 10mm.  ....  petit appétit ? à ce régime là...

Si vous êtes mesquin et cherchez à créer des salades en embarrassant votre marchand, êtes vous en mesure de produire la preuve que vous n'avez que 201, 24g ?

Sachant que votre salade subit la poussée d'Archimède produite et égale au volume d'air occupé par vos 201,25 centimètre cube, une imprécision de 0,01g correspond à une imprécision de 5 (cent millième de gramme)** sur la masse volumique de l'air qui est de 1,293 millième de gramme par centimètre cube à 0 degré Celsius et sous une pression de 1 atmosphère. Considérant, en approximation, l'air comme un gaz parfait vous tenterez de calculer l'incertitude sur la masse volumique de l'air pour une incertitude sur la température de 1 degré Celsius aux alentours de 20 degrés Celsius ou 293 Kelvin, en admettant la pression comme constante et égale à 1 atmosphère.

Liberté vous est laissée quant aux conclusions à porter sur cette information inscrite sur votre sachet de salade... puisque sont absentes les conditions de température et pression dans lesquelles la mesure a été réalisée.

Note :

            *  Vu la date actuelle et vu la date de péremption affichée... il n'y a plus de salade ou bien elle s'est décomposée toute seule !

            **   Le cent millième de gramme vaut 0,00001 gramme... cette précision inutile peut-être mais que nous préférons ajouter car l'écriture au clavier ne nous permet  pas l'usage des puissances de 10. 

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Sans Titre !

Comme un trou noir dans l'imagination !

Nous admettrons, pour simplifier, que vous vous êtes familiarisés avec la technique qui permet par mathssicotage, nouage de construire une "surface" en partant de cercles vicieux. Nous vous proposons, donc, sans commentaires, la construction suivante qui nous rapproche de notre propos d'origine, à savoir la compréhension du readymath collant à l'origine du monde. Les deux premières figures montrent que la "surface" créée possède une caractéristique ( -1 ). Sur la dernière figure nous avons comblé les deux parties libres (ou "vides" ou "trous") par deux disques de caractéristique ( +1 ).

De cet objet possédant deux "trous" nous dirons qu'il est un représentant d'une singularité que nous concentrons au point central et qu'en ce point la singularité est égale à -1. De là nous pourrons énoncer, de la même façon,  que la singularité au centre de chacun des disques qui viennent combler les "trous" est égale à +1. Le résultat produit un disque de caractéristique ( +1 ) (avec un bout de lathex en trop... mais qui disparaîtra de la vue)

Il ne reste plus qu'à multiplier le nombre de mailles, puis enfiler ce readymath qui, par déformation, enveloppera notre surface. Ce qui nous permet d'affirmer que là où Gustave Courbet  situait l'origine du monde sur son tableau, et telle que nous l'avons rencontré dans les exemples présentés dans les premiers numéros de cette série, la singularité est bien égale à -1. 

En prolongeant cette procédure nous vous montrerons comment il est possible de créer un readymathh qui enveloppe tout le corps en respectant toutes les singularités de celui-ci.

A suivre... 

                    mais dans quelque temps seulement.... Vacances pour certains. Si le soleil est avec vous "ne bronzez pas idiot",  c'est peut-être l'occasion de relire Mathazine et, qui sait, ... peut-être d'avoir la peau Math.

Pour notre part, nous partons de suite réaliser une installation que nous avons intitulé Fils en tropisme. Cette installation intervient dans dans le cadre d'une exposition organisée par l'association Armandat du 5 Juillet au 1 Août et dont le commissaire est  Sylvie Pic. Nous ne disposerons pas de la Caverne de Platon mais l'intervention se situera dans la grotte présente dans ce lieu.

Notes : Pour l'information et l'invitation à cette exposition ouvrir et voir le mail joint.

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SUPRÉMATISME *

SUPRÉMATHISME 

Encore et toujours... avant de poursuivre notre étude.

Nous devons préciser ou approfondir quelques détails. Lorsque nous évoquons le néant, celui-ci ne nécessite pas l'introduction d'un espace qui le contienne**. Lorsque nous introduisons les cercles vicieux qui peuplent ce néant, nous n'avons toujours pas besoin d'introduire une forme ou figure qui matérialisent cette notion. Le néant est un potentiel caractérisé par les cercles vicieux. Le potentiel se manifestera d'une manière ou d'une autre lorsqu'un cercle vicieux sera tranché. Dans l'exemple évoqué lors du précédent numéro : le potentiel de votre cadre accroché au mur ne se révèle à vous  (d'une certaine manière parmi tant d'autres possibles ) que lorsque vous voyez votre tableau en mille morceaux.

La tentation de se pencher au bord du vide est grande. En physique la volonté de trouver "l'équation du monde" et la quête de "la grande unification" chatouillent plus d'un esprit. Les théories introduisent des espaces de plus en plus abstraits, de plus en plus éloignés de nos perceptions. En mécanique quantique le vide quantique est prononcé, un vide de matière mais plein d'énergie à un état potentiel. Dans ce vide si une particule de matière se crée ( par génération (spontanée ?) suivant l'équivalence E = mc2) , une antiparticule se crée. Si la particule et son antiparticule entrent en collision, les deux disparaissent et refournissent l'énergie qu'elles avaient absorbée. Notre monde existe, puisque nous sommes, il faut donc admettre l'existence d'un antimonde... parallèle. Sauf à admettre un déséquilibre dans la production de matière et d'antimatière dans les premiers temps de l'univers. C'est une autre histoire et nous vous invitons à consulter les personnes compétentes en la matière.

En peinture plusieurs artistes dans leur parcours se sont trouvés confrontés au vertige du monochrome. Ce n'est pas la fameuse angoisse de la page blanche mais plutôt l'interrogation "où commence la peinture" équivalente à "où se situe l'origine du monde" pour le physicien. Le cas d'Yves Klein (pas celui de la bouteille, l'autre) est bien connu avec son célèbre bleu, mais il n'est pas unique. En sculpture citons  le cas de Lawrence Weiner qui déclare en 1969 dans son manifeste : "l'artiste peut réaliser la pièce / la pièce peut être réalisée (par quelqu'un d'autre) / la pièce peut ne pas être réalisée. Chaque proposition étant égale et en accord avec l'intention de l'artiste, le choix d'une des conditions de présentation relève du récepteur à l'occasion de la réception". Depuis cette déclaration Weiner ne présente plus que des énoncés ou propositions de sculptures qu'il fait peindre sur les murs. Où est l'oeuvre sinon dans sa potentialité. En d'autres lieux certains évoqueraient : l'intention vaut l'action. Parfois l'action en Bourse dépasse de loin l'intention. Ce n'est pas une raison pure pour accuser l'artiste de supercherie... à l'origine... L'artiste est naturellement bon... c'est le marché qui le pervertit ? Il y aurait matière à débattre, mais ceci sort du cadre de Mathazine

En peinture, énoncer : "un carré blanc sur fond blanc" relèverait du cercle vicieux si nous en restions là. Se saisir d'une toile blanche est déjà orientation du potentiel. Accrocher cette toile au mur et y adjoindre le titre : "carré blanc sur fond blanc" ne réduit pas encore le cercle vicieux. Rien encore ne permet de distinguer le carré du fond : d'une certaine manière le néant n'a pas encore exprimé sa potentialité. Lorsque Malévitch utilise un pigment blanc d'origine française pour caractériser le carré, différent du pigment blanc d'origine russe utilisé pour le fond, il coupe le cercle vicieux. Du fond, la forme remonte à la surface. Le carré blanc acquiert son autonomie par rapport au fond ; disons que le carré (celui-là, et pas un autre, que l'on voit sur le tableau ci-dessus) s'extrait du néant.

Lorsque nous donnons au néant la forme d'une feuille blanche ou bien que nous immergeons ce néant dans un espace à deux dimensions spatiales (dont la feuille blanche illimitée est une image), nous pouvons donner au cercle vicieux la forme géométrique d'un cercle (pas de début ni de fin mais pourtant une existence géométrique où tout point est identique à son voisin). Des cercles, la feuille en est remplie, vous ne les voyez pas à la différence de ce Carré blanc sur fond blanc*** . Ces cercles sont de toutes tailles, s'étirent (laissant plus de place dans un sens aux cercles intérieurs) ou se contractent (resserrant les cercles intérieurs). Il y a peut-être toute une vie qui anime les cercles vicieux... mais comme nous ne pouvons les percevoir...nous demeurons dans l'hypothétique et le potentiel. La force du Grand Matheur est de réussir à en reconnaître la présence. Secondé par le Grand Mathisseur qui réussit à en saisir et poursuivre dans le sens que nous connaissons, le néant exprime sa potentialité. Nous pouvons parler de Suprémathisme l'oeuvre conjointe des Grand Matheur et Grand Mathisseur.

A suivre... 

Notes : 

              * Kazimir Malévitch (1878 - 1935). Peintre russe. D'inspiration spiritualiste, il a créé une catégorie de l'art abstrait dénommée "suprématisme", qui culmine en 1918 avec son tableau Carré blanc sur fond blanc (représenté ci-dessus et actuellement au MOMA musée d'art moderne New York) (le petit Larousse 2002). Il a utilisé deux blancs d'origines différentes: française pour le carré, russe pour le fond ( Wikipédia ).

             ** Nous avons déjà bien du mal à nous satisfaire de notre Univers fermé sur lui même. Nous le plongeons dans quelque Super Univers ou Espace qui le contienne. Puis nous nous imaginons capables de sortir de notre Univers pour nous placer en quelque point de ce Super Univers d'où nous pourrions l'observer.... Nous aspirons à être le Grand Mateur...sans H. 

            *** Malévitch aurait pu être plus radical et prendre une toile blanche et énoncer "Carré blanc sur fond blanc".... mais il faut replacer l'oeuvre dans son contexte. Nous sommes en 1918, bien sûr il y avait déjà eu des oeuvres fortes qui avaient rompues les habitudes comme le Cubisme ; il y avait eu Marcel Duchamp avec ses Ready made, (notamment son urinoir),... Il fallait oser le pur monochrome. Ce ne sera que dans les années 1950 qu'Yves Klein proposera ses monochromes bleu et son exposition sur le vide.

Dans le sens de notre étude, Weiner est plus proche de Maléwitch que Klein . Lawrence Weiner énoncerait : "un carré blanc sur fond blanc". Nous sommes dans la potentialité. .

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(49p - 96l + 48m) + (-1l)

SUPRÉMATHISME 

Nous en étions là avant les vacances. Nous avions extraits du néant plusieurs cercles vicieux que nous avions mathssicotés, noués... Les points rouges sont des noeuds ou pathex p, les lignes bleues des fils de lathex l, les points verts des noeuds extraits des cercles vicieux lors du mathssicotage et introduits à l'intérieur des mailles notés m en prévision de les identifier à du mathex. Faites le compte comme nous l'avons introduit p - l + m. Vous observez que l'élément de gauche a une caractéristique +1 équilibré par le fil de lathex qui reste, au terme de la construction, de caractéristique -1.

Partant du néant 0 par mathssicotage, couture, nous obtenons un élément complexe +1 et son "anti-élément" -1. Le tout flottant sur fond de néant. Cette image peut se dilater à l'infini ou se réduire à volonté. Seulement, si elle se rétracte au point de devenir infiniment petite elle demeurera visible car nous avions signalé qu'un noeud demeurait toujours visible à partir du moment où il avait été engendré (sauf dans le cas où servant à la couture de deux brins de lathex il pouvait se dissoudre dans le lathex qui restait visible et réapparaître lors d'un nouveau mathssicotage) comme le carré blanc de Malévitch était bien identifiable sur son fond blanc. Le noeud vert inséré à l'intérieur d'une maille de lathex flotte sur fond de néant. Entre lui et la maille il n'y a rien. Ce qui nous avait permis de fabriquer cette chaussette pour la Bouteille de Klein en faisant traverser certaines mailles par certains fils de lathex. Supposons que le tout se rétracte à l'infini, nous pouvons, par extension de langage, dire que les mailles vont tellement serrer les noeuds verts qu'elles vont venir s'y coller. C'est une image, mais elle va nous permettre de faire comprendre comment on peut identifier une maille insérant un noeud avec un élément de surface en mathex. Redilatant la chose et admettant que la colle ait bien prise (toujours notre image), le noeud vert va se dilater, combler le vide de la maille et constituer un élément de surface. Vous nous direz que c'est "un peu fort de café"... mais c'est ce qui fait qu'un noeud est une singularité +1 avec tout ce que singularité signifie.

Nous avions signalé que le mathex ne dissolvait pas le lathex. Venant de subir une intervention chirurgicale, on nous a signalé que les fils des coutures allaient se dissoudre. Nous admettrons donc la possibilité que le mathex dissolve le lathex. Ce n'est pas systématique, mais ce n'est pas interdit.... les mailles et les coutures disparaîtront, vous aurez une belle surface sans couture ... peut-être restera-t-il une cicatrice, comme une archéologie du maillage primitif ?

L'élément constitué des mailles et de son cortège de points verts n'a pas le véritable statut de surface puisque plein de vide. Seulement il peut être, à la manière d'un bas ou collant résille, regardé comme une surface enveloppante pourvu qu'on l'applique sur la surface enveloppable qui lui correspond. L'élément qui lui correspond où les points verts sont devenus du mathex remplissant les mailles a lui le statut de surface. Collant résille et collant de latex, tous deux surfaces enveloppantes. Le premier est "transparent", le second ne l'est pas.

A l'image du carré blanc sur fond blanc si nous donnons au mathex une couleur blanche, disons plutôt verdâtre puisqu'issue du noeud vert étiré, en dissolvant le lathex des mailles nous obtenons un disque blanc flottant sur le néant blanc, plus ce petit fil de lathex bleu qui disparaît de la vue en se rétractant.

MATHAZINE

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l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Le PIED

quelques pas en arrière pour un franchir un nouveau pas

Souvenez vous du numéro 7. Vous partiez en vacances avec vos de Saussure et nous vous invitions à mater votre pied. Que vous ayez ou non le pied beau, il y a matière à mather. Observez attentivement l'image ci-dessus et le segment noir qui apparaît.

Qu'est-ce à dire ? Suivez la décomposition suivante :

fig. 1

Partant d'un cylindre 0 on obtient une chaussette ou bas résille de caractéristique 1. Pour nous approcher de l'image en haut de page nous avons noué une extrémité en adaptant la procédure ci-dessus.

Dans fig. 1 qui est un réseau d'ellipses et hyperboles homofocales*, les deux foyers peuvent être regardés comme deux points de singularité 1/2. Nous étions habitués à produire des disques dont le réseau rayonnait à partir du centre, point singulier 1. Jusqu'alors nous avions réussi à ne produire par mathssicotage et nouage que des points singuliers à valeur entière. Nous voyons qu'il est possible de produire par cette procédure des points de singularité fractionnaire.

Dans fig. 1 nous n'avons pas fait apparaître le petit bout de lathex -1 qui résulte du mathssicotage.... vu qu'il disparaît de la vue.

A suivre... 

Notes : 

              * Voir les numéros de Mathazine relatifs au Pilchart et au site Paillart. Par déformation, un cercle peut devenir une ellipse et un segment un morceau d'hyperbole. Dans un réseau d'ellipses et d'hyperboles homofocales les courbes se coupent à angle droit.

Ndlr :

            - C'est pas un peu long tout ça ?

            - Bien sûr, mais le monde ne s'est pas fait en un jour. Même si certains pensent que le Big Bang n'a pas duré, il a bien fallu qu'avant l'origine l'affaire soit bien pensée sinon que serait notre monde, vu qu'il est déjà bien chaotique. Et puis avant l'origine, le temps... c'est quoi ?

              Ce serait encore plus long si nous ne sautions pas certains détails. Une fouthèse n'est pas une foutaise ! (ici ! est plutôt un point d'emportement que d'exclamation. Un jour, si le Grand Mathronome nous prête vie, il nous faudra bien revoir tout ce corps d'écriture ! (point d'exclamation))

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le Pied monté

Plutôt que de nous exclamer "aussi bête que ses pieds", nous y regarderons plutôt deux fois qu'une.

Lorsqu'enfant nous observions notre mère tricoter des chaussettes, nous étions très  impressionnés. Nous serions bien incapable de vous décrire la manière dont elle s'y prenait pour régler le problème du talon. Nous avons souvenir d'aiguilles en attente et d'un "échafaudage" bien compliqué. Nous avons plus tard découvert dans le commerce des chaussettes qui ignoraient le problème du talon*. C'était pour elle un affront, de la paresse, sans compter que le talon s'usait prématurément. Comment avait-elle appris ? Elle n'avait pas fait de mathématique, encore moins de topologie ! 

Au point où nous en sommes pourquoi ne pas vous livrer une autre anecdote qui entre pour une grande part dans la longue marche qui nous conduit à cette fouthèse.

Nous étions au cours complémentaire, en classe de troisième. La mixité venait tout juste d'être instituée. Ceci n'aurait aucune relation avec notre sujet sinon qu'abordant en physique le magnétisme, notre professeur (un gaillard abbé) nous expliqua que le "champ magnétique", c'est comme le "champ parfumique", ça ne se voit pas mais ça se sent **. La toute nouvelle présence des filles dans notre environnement scolaire rendait l'explication concrète et piquante. La science physique nous devenait tout de suite beaucoup plus attrayante. Par ailleurs, notre père étant forgeron, nous étions chargé de rapporter de la limaille de fer afin de visualiser les lignes de champ produites par un aimant. La limaille rendait visible ce qui existait, à notre insu pourrait-on dire.

Qu'est-ce qui nous permettrait de voir le champ parfumique songions nous alors ?

Beaucoup plus tard dans les années 1990 nous avons abordé l'étude des "champs érotiques". Bien que nous ayons réussi à produire certaines planches, nous avons renoncé. Certains résultats n'en demeurent pas moins intéressants. Comme nous travaillions alors sur des images (icônes), nous développions notre étude dans des espaces projectifs complexifiés avec leur cortège d'imaginaires et considérions des faisceaux de coniques dont les points de bases étaient des points de forte charge érotique sur l'image. La fameuse boîte de pilchard y avait déjà trouvé sa place dans un cas particulier.... il faudrait bien un jour montrer tout cela !... si le Grand Mathronome nous prête vie....  

Pourquoi nous acharnons nous sur la résille ? Eh bien, pour qui sait ... un champ de vecteurs dérivant d'un potentiel  (un champ de gradient)  dessine sur une surface des lignes de champ (comme notre limaille pour le champ magnétique) qui ont la particularité d'être en tout point perpendiculaires aux équipotentielles ou lignes suivant lesquelles le potentiel demeure constant. Par exemple pour notre champ de gravitation, sur le terrain ou sur une carte topographique, les courbes de niveau sont les équipotentielles et les lignes de champ sont les lignes de plus grande pente (celle que suit naturellement l'eau qui ruisselle***). Nombre de nos voyages pédestres se sont faits assis à contempler les cartes IGN essayant de nous imprégner du paysage en observant les courbes de niveau. C'est beaucoup moins fatiguant, mais une bonne pratique de la chose permet de bien imaginer le relief et vous fait ressentir la fatigue que vous éprouveriez sur le terrain.

Imaginez un tissu dont la trame serait constituée par les lignes de champ érotique et ses équipotentielles ! ( ! est ici un point de jubilation). L'étude des champs de vecteurs dans le plan ouvre la porte vers l'établissement d'un atlas du champ érotique sur des surfaces que nous dirons seinpathiques. L'un des problèmes majeur auquel nous nous heurtons lorsque sommes confronté à une surface naturellement sympathique.... étant qu'elle se déforme tout le temps.

Une hypothèse ou bien une piste de recherche est de considérer ce champ comme un champ de courbure de la surface. La courbure maximale en un point et la direction associée définit un champ de vecteur sur une surface. La courbure minimale et la direction associée définit en ce même point un vecteur perpendiculaire au premier dans le plan tangent à la surface. L'établissement des lignes de courbures maximale et minimale définit sur la surface un réseau de lignes perpendiculaires. C'est terriblement long à calculer mais grâce aux ordinateurs et par une triangulation de la surface il est possible de tracer ce réseau.... Notre surface naturellement sympathique se déformant tout le temps il faudrait l'équiper d'un appareillage assez lourd de capteurs de courbure et la suivre en temps réel avec un ordinateur puissant capable de produire une image 3D du réseau.... Même avec la miniaturisation et les progrès fulgurants en matière de calculs... c'est encore une utopie. En passant, ceci nous renvoie vers la "relativité Générale" qui considère la gravitation comme une question de courbure de l'espace temps.

Erotisme et Relativité Générale.... Même combat ? ( ? est ici un point d'étonnement )

Après cette digression nous allons reprendre notre pied et considérer les singularités affairant au talon.

A suivre... 

Notes : 

              * Dans le numéro précédent la chaussette reproduite ignorait le problème du talon.

            ** Ce même abbé qui était également notre professeur de mathématique nous expliquait ainsi la notion abstraite de réciprocité en mathématique : "Imaginez un cochon qui entre dans une charcuterie, il en sort du pâté. Si la réciproque était vraie, en faisant marcher les machines à l'envers, vous devriez obtenir un cochon en partant du pâté". La chose était limpide et les mathématiques prenaient du goût... La Physique avait un parfum féminin. Plus tard au lycée la chimie eut pour nous l'odeur des oeufs pourris parce qu'il planait dans les couloirs à proximité des salles une odeur d'anhydride sulfureux, le fameux H2S... à nous dégoûter à jamais de cette science.... bien pire que l'odeur du jus de chaussette dont la formule chimique nous était rabâchée : 100 HO7 + LHO + L100 .   

          *** Ceci nous renvoie vers une autre anecdote : la ligne de partage des eaux qui nous avait interpellé en cours de géographie (tout autant que la source de la Loire.... Au mont Gerbier des Joncs il y a un endroit où il est écrit "source de la Loire".... c'est pas plus qu'un robinet qu'on aurait oublié de fermer). Imaginez une goutte d'eau qui aurait la malchance de tomber exactement sur la ligne de partage des eaux.... vers qu'elle mer va-t-elle se diriger ? A devenir fou ! En nous rendant dans la Nièvre à l'occasion de notre site Paillart, nous avons vu un panneau qui annonçait que nous étions sur la ligne de partage des eaux.... cela nous a fait rêver pour le reste du trajet. Dans un autre genre, lorsque nous nous rendions dans le Morvan nous avons vu un panneau qui annonçait que c'était le "centre de l'Europe". Centre géographique  ? Nous ne nous souvenons plus. Nous nous sommes demandé quel sens cela pouvait avoir ? Ceci nous renverrait vers la mesure de la côte bretonne telle que l'évoque Benoît Mandelbrot dans son introduction aux "objets fractals".

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Bon pied - Bon oeil

Pour traiter le cas du talon nous partirons d'un "cylindre" dont la caractéristique est 0. Lorsque nous aurons réussi à produire la déformation conséquente à l'introduction du talon nous observerons que nous avons toujours affaire à une surface homéomorphe au "cylindre", donc sa caractéristique demeurera 0 *. Comme pour le cas de la couture rencontrée au N° 27, nous remarquerons que ceci introduit des points de singularité fractionnaire. Dans l'exemple ci-dessous à gauche, un point de singularité 1/2 et deux points de même singularité que nous serons amenés à qualifier de singularité -1/4 pour conserver à notre surface sa caractéristique 0. Dans l'exemple de droite nous avons introduit deux points qualifiés 1/4 en lieu et place du point 1/2. Les images représentant les cylindres déployés après déformation. 

Le second exemple correspond à ce que nous rencontrons dans le traitement habituel des chaussettes lorsque le cas du talon n'est négligé **. 

Pour obtenir le cylindre il suffit de coudre dans chacun des exemples ci-dessus, le bord gauche avec le bord droit. Nous vous laissons le soin de contrôler qu'une fois le cylindre obtenu le nombre de noeuds, de fils, de mailles vérifient bien p - l + m = O.

Bien que l'exemple suivant ne corresponde pas à une solution répondant au problème du talon, nous nous permettons de vous le présenter afin que vous puissiez comparer avec les exemples précédents.

Au passage nous pouvons préciser le sens de la singularité d'un point dans un maillage. Un maillage est dit régulier lorsque chaque maille est faite d'un même nombre de côtés et qu'en chaque sommet arrive le même nombre de fils. Lorsqu'en un point arrive un nombre différent de fils au regard de ce qui se présente à l'entour, nous disons que ce point est singulier.

A suivre... 

Notes : 

            * On pourrait compter les p, l, m sur la nouvelle surface mais on peut se servir d'un théorème établi en topologie : deux surfaces connexes orientables (resp. non orientables) ayant le même nombre de bords sont homéomorphes si et seulement si elles ont même caractéristique d'Euler ; ce qui simplifie le travail.

            ** A titre d'exercice, bien que vos chaussettes soient "tricotées" plutôt que tissées, vous essaierez sur celles ci de localiser les points de singularité 1/4 et -1/4.