MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

MATHEMPSYCOSE *

  ou

la transmigration de l'esprit de cône

dans le corps du dahu.

Que fait le dahu ? Comme nous il met un pied (une patte) devant l'autre mais à la différence de nous il ne peut aller à Hue et à Dia ; soit à hue, soit à dia ou au centre dans le cas du Dahrecteur que nous avions rencontré dans "Surfaces Seinpathiques n° 7 et n° 8".

Etant donné que les pattes d'un côté (disons de droite ... pour ne pas nous prendre les pieds dans le cours de notre explication) sont plus courtes que celles de gauche, le chemin parcouru à droite sera plus court qu'à gauche. Ceci quelque soit la surface sur laquelle évolue le dahu**.

Si le dahu évolue sur une surface plane, sachant qu'il y a une certaine distance ou largeur entre les pattes de gauche et de droite, en considérant que l'axe de son corps (que nous sommes obligé de considérer comme rigide. Nous sommes contraint dans cette Théorie sur le dahu de considérer que celui-ci est coincé... des vertèbres) est la tangente à la trajectoire ou courbe parcourue ...  par un raisonnement élémentaire et un petit calcul nous sommes amenés à conclure que le dahu décrit un cercle dont le rayon ne dépend que de la dimension de celui-ci ou plus précisément de sa morphologie. Cette propriété nous permet de considérer que le dahu ( être imaginaire pur) admet comme modèle mathématique le cône (de révolution) dont l'image ci-dessus est un exemple particulier. Observant l'image et et vous rappelant qu'un cône (de révolution) possède un axe ; dans le cas du plan le point où cet axe rencontre le plan est fixe et c'est autour de ce point que le cône décrit son cercle. Dans cette image et modèle, (en la regardant face à l'écran) la partie de gauche correspond aux pattes les plus courtes (celles de droite du dahu ... vous suivez ?) et il vous suffirait de faire rouler ce cône pour vous apercevoir qu'il décrit un cercle ... nous vérifions ainsi que le dahu dont ce cône est le modèle décrit un cercle. Y a-t-il autant de dahus que de cônes et réciproquement ? Nous ne pouvons vous répondre mais sachant que tout dahu grandit de sa naissance à l'âge adulte ... nous pouvons conclure que les cercles décrits par les dahus varient au cours de leur existence.

Si le dahu ne grandissait pas nous serions contraints de reconnaître qu'il tourne en rond. Mais comme il grandit, la taille du cercle augmente et peut entraîner des surprises. Nous verrons cela plus tard. Pour l'instant concentrons nous sur le modèle mathématique.

Imaginons que le cône adhère suffisamment à la surface plane sur laquelle il roule, pour ne pas glisser. Imaginons que vous ayez mis une colle sur votre cône en dessinant des formes ou bien en écrivant un texte. Supposons que cette colle adhère plus au plan qu'au cône, de sorte que la colle, lorsque celui -ci va rouler, se dépose sur le plan et quitte le cône. Vous imprimerez ou transporterez la colle depuis le cône vers le plan ***. De quelle nature est ce transport ? La littérature mathématique le qualifie et le nomme transport parallèle. Cette appellation se justifiera au fur et à mesure de notre développement.

Jusqu'à présent nous avons considéré notre dahu-cône se déplaçant sur un plan mais que se passe-t-il s'il se déplace sur un cône ? Pas sur un dahu, soyons clair ; sur une surface conique. 

Nous verrons cela au prochain numéro.  sinon vous risquez de vous prendre les pieds dans le vocabulaire. 

question : Cette image représenterait-elle un dahu qui serait à dia ou un dahu qui serait à hue ?    

à suivre.

Notes :

            * Mathempsycose ou Mathempsychose : la mathempsychose est la transmigration de l'essence mathématique dans le corps réel, imaginaire ou complexe. Le vecteur de cette transmigration est un super-mathozoïde qui, par le produit mathriciel ( voir matriciel ... on rencontre                les deux orthographes dans la littérature), engendre la Mathamorphose  (dictionnaire de Mathologie) 

           ** Nous répétons que la rumeur expliquant que le dahu ne peut vivre que sur des pentes à cause de la différence de taille de ses pattes est stupide. Pour vous en convaincre : si cela était vrai les boiteux ne pourraient vivre que sur les pentes. Or   ... donc !   

         *** Les imprimeurs préfèrent les dahrecteurs ou cylindres pour imprimer ... nous les comprenons mais il n'y a aucune contre-indication théorique à utiliser un cône.

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

SCOTCHES

Dans un premier temps considérons la situation suivante :

Soit un cône (blanc) sur lequel se meut un dahu (marron) respectant la condition suivante, qu'illustre l'image ci-dessus : le sommet  du cône-dahu (modèle mathématique de notre dahu) coïncide avec le sommet du cône sur lequel il se meut.

Pour les mécaniciens cette situation est fréquente puisque c'est ainsi qu'avec des engrenages coniques on assure des renvois d'angle. Les deux cônes tournant autour de leur axes, la rotation de l'un entraîne la rotation du second suivant une direction différente correspondant à l'axe du second *. La condition nécessaire et suffisante est que les sommets des cônes coïncident. Poursuivant avec cette image mécanique, on perçoit assez aisément que si l'un des cônes (le blanc) est immobile et que par une liaison ou moyen technique nous assurons la coïncidence des sommets ... alors le second cône (le marron) pourra tourner autour du premier en restant en contact tout le long de la droite commune ; laquelle est une génératrice pour chacun des cônes.

Passons à l'atelier d'imprimerie une fois que nous avons réglé ou compris ceci. Imaginons que sur le cône blanc nous ayons dessiné à l'encre grasse une figure ( dans notre illustration nous avons en particulier tracé un cercle rouge. Question : qu'est-ce qu'un cercle sur un cône ? Nous y répondrons). Lorsque vous ferez tourner le cône marron autour du blanc l'encre du blanc se reportera sur le marron.

Nous pourrions concevoir un système un peu plus compliqué qui éviterait au dahu de se salir les pattes. Interposons entre les deux cônes un plan ou feuille de papier très rigide. Pour peu que le dahu exerce une pression sur le cône blanc la feuille de papier restera en contact lors du déplacement. Elle ne glissera pas (ni ne pivotera) car l'encre, combinée à la pression assure une adhérence. Un pas du dahu fait basculer la feuille autour de la droite de contact. Comme on ne glisse pas, le pas que le dahu fait sur la feuille correspond au chemin que celui-ci fait dans son déplacement (ou rotation) sur le cône blanc. Rien ne se perd, rien ne se crée tout se transporte ... pour paraphraser Lavoisier ! Dans ce déplacement vous imprimez sur la feuille rigide de papier la figure qui se trouve sur le cône blanc. D'une surface qui n'est pas plane (le cône blanc) ainsi vous transportez dans le plan (la feuille de papier rigide) les figures par l'intermédiaire du cône-dahu.

Nous nous demandions ce que pouvait vouloir dire un cercle sur un cône ; et bien si vous regardez la figure transportée sur la feuille rigide et que vous y reconnaissez un cercle, vous direz que la figure sur le cône blanc est un cercle. Ce serait un peu facile ou bien nous produirions un cercle vicieux, si nous ne nous appuyions pas sur la propriété caractéristique du "cercle" que nous transportons d'une surface sur l'autre. Dans notre feuille nous avons une figure dont tous les points sont à égale distance d'un centre et nous avons transporté, en conservant les distances,  la figure **, donc son "centre". Pour placer sur le cône blanc le "centre" de cette figure  il suffirait de mettre un point d'encre sur la feuille rigide au centre du cercle et de faire refaire au dahu le chemin inverse ( en marche arrière ou bien en imaginant qu'on rembobine le film et le temps ... Vous laissez défiler le temps,  vous faites cette intervention chirurgicale qui consiste à placer le centre, puis vous remontez le temps).

Les distances ont été conservées mais ce n'est pas tout et c'est ce qui intéresse les mathématiciens qui veulent tout mettre à plat. 

Nous pourrions aussi bien décôner et mettre le cône à plat. Nous obtiendrions un morceau de disque. C'est ce qu'on appelle le développement du cône et ce qui a été imprimé deviendrait directement lisible.

Nous verrons cela dans les prochains numéros ...   

à suivre.

Notes :

            * Les vitesses de rotation ne sont pas conservées si les deux engrenages n'ont pas le même nombre de dents. Mais ce n'est pas sur cela qu'il faut porter l'attention : il faut que la distance entre les dents soient égales sur chacun des engrenages pour que cela puisse fonctionner, c'est à dire tourner. 

           ** Il n'est pas simple de montrer que les distances sont conservées dans cette opération. Pour ce qui est des points sur la ligne de contact, c'est assez clair. Puisque les matériaux ne sont pas élastiques, ce qui est sur le cône blanc est au moment du contact sur le cône-dahu donc avec la même longueur de part et d'autre. Mais pour ce qui est transversal à cette ligne ce n'est pas évident. Ceci ne se résout que par un passage à la limite qui permet aux mathématiciens de faire cette mise à plat en passant par le plan tangent. Ce n'est que le passage à la limite, en considérant  des pas de plus en plus petits jusqu'à l'infiniment petit, et une continuité (même plus dérivabilité) qui permet de faire se "confondre" l'élément de surface avec le plan qui lui est tangent. Si il n'y avait pas de continuité le processus serait mis en défaut. Il y aurait une autre façon de le vérifier qui consisterait à enrouler le plan, s'il n'était pas trop rigide, sur le cône blanc. Nous constaterions la superposition des figures. Il n'en demeure pas moins mystérieux qu'une figure plane puisse venir coïncider avec une figure qui n'est plus plane. C'est l'un des étonnements que réserve le continu et l'infiniment petit ... de permettre de confondre pendant un petit bout de chemin infiniment petit deux mondes différents. En se déplaçant, un des mondes bouge  (le plan tangent) et on recolle à chaque pas le nouveau plan tangent à son prédécesseur ... mais ceci est encore une simplification grossière car nous ne pouvons plus être discret et compter.  A plusieurs reprises nous vous avons signalé "nous demeurons discrets mais pensons en continu". De fait dans ces cas la "discrétion" était encore de mise mais nous nous appuyions sur un édifice continu. Pour notre part nous avons toujours été émerveillé par le fait de réussir à plier une feuille de papier, encore plus de réussir à en faire un cône. Vous comprendrez notre étonnement lorsque nous aborderons la sphère par exemple. Une sphère ne se déplie pas en un plan mais nous verrons comment nous réussissons à la mettre à plat en demeurant discret ... c'est un peu comme notre étagère ... en plus compliqué !

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Observez sur cette image comment nous décônons.

L'image ci-dessus vous montre comment nous mettons à plat notre cône. Si vous vous reportez à l'image du bas vous pourrez lire sans trop de difficulté. Vous observerez que ces lignes d'écritures forment un réseau de lignes droites parallèles, comme nous sommes habitués à le faire d'ordinaire. Ces lignes droites (s'il faut le rappeler) sont sur le plan le chemin le plus court entre deux points. Comme les distances ont été conservées par ce décônage, cela veut dire qu'elles constituent sur le cône un réseau de lignes "parallèles" et minimisant la distance entre deux points. Ce sont des courbes puisque sur une surface il n'est plus possible de parler de droites. Ces courbes sont alors appelées géodésiques. Nous les avons déjà rencontrées dans les numéros consacrés aux surfaces Seinpathiques. Nous les réalisions en déroulant du scotch ou bien en suivant la trajectoire d'un dahrecteur qui n'est qu'un dahu particulier.

Si dans l'image ci-dessous vous pouvez lire sans difficulté, vous pouvez remarquer sur l'image ci-dessus que la feuille de papier a l'allure d'une part de gâteau (rond). Ce ne serait certainement pas de la tarte si on se devait de composer un livre en imprimant de la sorte. Mais comme ce n'est pas l'objectif ... Retenons tout simplement que nous avons là établi une procédure qui permet le passage d'un "monde" : celui du cône qui est une surface à un autre "monde" : celui du plan dans lequel nous sommes plus à l'aise. Ce passage nous permet d'interpréter ou traduire en langage plan. Mais, si : rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transporte ... tout se transforme cependant ... et comme dans toute traduction il faut savoir en reconnaître les limites. La feuille obtenue n'est plus très commode à manipuler ! 

Si dans cet exemple ce transport ou procédure ne semble pas d'un grand intérêt (avec un peu de pratique on peut encore assez aisément arriver à déchiffrer sans décôner) nous verrons qu'il est bien utile pour extraire des informations lorsque les surfaces ou "mondes" sont plus complexes.

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Quand le cône ... il sphère.

Sur ces images nous pouvons observer comment le dahu évolue sur une sphère. Sur l'image ci-dessous nous voyons comment nous pouvons faire apparaître un cône. Nous vous renvoyons aux numéros 21 et 22 pour saisir comment en décônant nous mettons à plat ce parallèle que dessine le dahu en circulant sur la sphère. Il existe une relation entre le rayon du cercle qui constitue le parallèle sur la sphère et le rayon de l'arc de cercle que nous obtenons sur la feuille plane en décônant.

Sur la sphère de rayon R le parallèle a un rayon r = R cos(l). ( l étant la latitude du parallèle (en radians)).  Sur la feuille de papier sera imprimé un arc de cercle de rayon r' = R / tang(l) et la part du "gâteau" (pour conserver l'image du numéro précédent) fera un angle a = 2p sin(l). Au passage vous pouvez vérifier que la longueur du parallèle est bien égale à la longueur de l'arc imprimé sur la feuille de papier.

Cette petite explication n'a pas d'autre intérêt, à ce stade, sinon vous montrer que la passage du monde sphérique au monde plat est possible, engendre des modifications mais qu'il est possible de traduire.    

En positionnant le dahu * en différents parallèles nous obtiendrions une série de feuilles. Si vous tentiez de les rassembler en un livre ce serait bien difficile à relier : chacune aurait un rayon différent et une ouverture ou angle différent ... quel drôle de volume cela vous ferait  mais ça prendrait moins de place que la sphère si vous deviez conserver tout cela. D'autant moins que possédant la formule de traduction il vous suffirait de ne conserver sur une page que le rayon de la sphère et la formule **.    

à suivre ... mais dans deux ou trois semaines seulement, car des activités extérieures nous entraînent dans des salles obscures et que nos membres actifs nous rappellent qu'ils n'ont que deux bras et qu'ils ne s'appellent pas Shiva   -  Ca va ... ça va on a compris. N'insistez pas. On ne vous demande pas d'avoir le don d'ubiquité déjà qu'il y a bien assez d'ambiguïtés. 

Notes :

               * question : Est-il possible d'employer le même dahu pour tous les parallèles ou bien doit on disposer de dahus différents pour chaque parallèle ?

            **  Ceci, en passant, vous permet de saisir pourquoi les fichiers images sont beaucoup moins lourds en "vectoriel" qu'en "pixellisation". Dans le premier cas vous ne conservez que le nom de l'objet et la formule ( la caisse à outils) alors que dans le second cas il faut garder en mémoire tout l'ensemble des points qui constituent l'objet ... il y en a une infinité si votre objet est continu mais en général comme on ne peut pas conserver une infinité ... c'est la qualité de l'image ou de l'objet qui s'en ressent. Dans le premier cas vous voyagez léger mais à chaque pas vous devez refaire le calcul ... mais quand on sait marcher il n'est pas difficile de mettre un pied devant l'autre sans trop se prendre la tête.

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

On tient le bon bout !

ça ne fera pas un plis.

ni l'ombre d'un doute ?

Encore qu'il faille aller jusqu'au bout !

Nous allons devoir abandonner nos dahus pour ne pas tourner en rond. Nous les remercions au passage. Non pas à la manière d'une entreprise qui se déleste d'un personnel devenu inutile. Il ne s'agit pas de licencier ni de mettre à la retraite anticipée. Leur contribution à notre étude nous aura été précieuse ... mais à chacun ses limites. Nous les garderons dans notre réserve. Ils nous auront permis de comprendre comment mettre à plat en décônant. Maintenant décôner ne suffira plus. Nous chercherons une manière plus générale de mettre à plat une ligne quelconque tracée sur une surface.

Pour cela nous utiliserons des surfaces développables, c'est à dire des surfaces de courbure nulle qui ont la propriété de pouvoir se "dérouler" en une feuille plane (le cône n'étant qu'un cas particulier de telles surfaces ). On démontre, et nous vous demanderons de l'admettre, qu'il existe plusieurs surfaces développables contenant une ligne tracée sur une surface donnée ( ici notre sphère). Nous en retiendrons trois mais une plus particulièrement * : la surface développable qui est tangente à la surface ( ici la sphère ) le long de la ligne donnée. Cette surface développable a, en chacun des points de la ligne, même plan tangent que la surface ( ici la sphère ). Si nous ne nous intéressons qu'aux vecteurs tangents à la ligne .... ils se trouvent "imprimés" ainsi que la ligne sur notre surface développable. Quand nous déroulerons notre surface développable .... nous aurons, imprimé et à plat, un transport cohérent de notre ligne et de ses vecteurs tangents. Rien ne se perd, rien ne se crée ... tout se transporte ?  Comme nous sommes passés d'un monde courbe à un monde plat ... faut pas rêver ! Notre transporteur ne nous livrera que ce qui entre dans son cahier des charges et ses compétences. Mais cela sera suffisant pour notre affaire. Ce transport est appelé transport parallèle dans la littérature ... spécialisée.

Il faudrait entrer dans des considérations pointues et ennuyeuses pour nombre de lecteurs. Aussi n'évoquerons nous que certains résultats permettant de suivre la progression du propos.    

Notes :

               * les deux autres nous serviront pour la réalisation et rigidification du réseau de lignes qui constituent l'habillage ... sans nous appuyer sur la sphère.

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Même béant, ça ne baîlle pas. 

Ca vous la baille bonne !

c'en serait presqu'à dormir debout.

Sur chacune des images nous avons tracé l'équateur afin de constater ce que la solution apporte en plus par rapport à la solution de Tchebychev.

En découpant dans un tissu à plat un carré ( de la bonne dimension ... cela va sans dire ) nous obtenons l'image en haut à gauche. * Pour obtenir la soultion de droite il convient de découper dans le tissu une forme qui n'est plus un carré,  qui y ressemblerait encore un peu mais dont les sommets auraient été arrondis. Dans ces deux cas la sphère nous laisserait voir son "décolleté" ... mais vous réussiriez à l'habiller sans faire aucune couture. Dans la dernière image, la sphère est totalement couverte, avec un seul morceau de tissu mais il faut faire des coutures  pour rassembler les bords. Ce sont les arcs de méridiens tracés en jaune. Pour ce faire vous aurez dû découper dans le tissu une forme qui ressemblerait encore à un carré mais dont on aurait tiré sur les sommets.

Dans un prochain numéro nous vous fournirons le patron de cette forme ... des fois que vous auriez envie d'habiller vos billes pour l'hiver.

Nous rappelons au passage, au risque de paraître redondant, que le tissu ici est formé de mailles carrées lorsqu'il est à plat. Lorsque vous le déformez les mailles gardent toujours les mêmes longueurs et prennent l'allure de "losanges" courbes. Les points où se croisent les fils peuvent être regardées comme des articulations ou des noeuds. Ceci est théorique mais si vous vous reportez au n° 9 et à l'image présentée vous constaterez qu'avec un tissu métallique du commerce la conservation des longueurs de chaque maille est assez bien respectée. Sur cette image là bien entendu la couture est trés grossière ... mais cet essai était comme l'esquisse d'un tableau ou un premier jet.

Notes :

               *  Pour être précis et ne pas vous laisser enduire d'erreur : Le carré exact et de bonne dimension ne couvre pas jusqu'aux traits appuyés ... mais ne couvre que jusqu'au trait en dessous de l'équateur. Nous nous sommes laissés emporter par notre élan ou bien étions nous en train de bayer aux corneilles ?  Donc le carré parfait ne couvre pas exactement l'hémisphère bien que les pointes aillent au delà. Excusez nous de cette faute d'inattention ... mais il était trop tard et n'avions pas le courage de reprendre l'image. Le carré exact recouvre 156,35° du méridien au lieu de 180°. On pourrait vérifier si ce carré, une fois appliqué sur la sphère ... et donc déformé, couvre une surface supérieure à l'hémisphère. A plat ce carré a une surface supérieure à l'hémisphére ( 2p ) mais cela ne prouve rien.

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Tout ça pour ça !

On veut bien croire que ce n'était pas coton.

Pourvu qu'au moins ce ne soit pas cousu de fil blanc.

.

Voici donc le patron de la pièce que vous devrez découper dans un carré de tissu pour habiller totalement la sphère. Pour une sphère de rayon 1 vous devrez vous procurer un carré de 2p de côté en respectant bien le fait que les fils de trame sont horizontaux (lignes rouges) et les fils de chaîne sont verticaux (lignes bleues). Ensuite vous viendrez appliquer ce morceau de tissu sur la sphère. Pour ce faire vous viendrez d'abord joindre les sommets "pôle nord " en exerçant une certaine tension sur les fils et respectant le fait que les lignes (fils) joignant les pôles nord et sud suivent deux méridiens perpendiculaires. Ensuite il ne vous restera plus qu'à coudre les bords comme il est indiqué pour A et A'. 

Sur cette image nous n'avons représenté que les fils distants d'une longueur correspondant à 15° sur les méridiens perpendiculaires de la sphère. Il est possible d'utiliser un tissu dont les fils sont aussi serrés que l'on veut ... infiniment serrés puisque nous demeurerons discrets. Pratiquement il y aura une limite : celle de l'épaisseur des fils.

La courbe qui détermine le bord du tissu découpé n'a pas une expression simple ...

Si, une fois la sphère habillée vous reportiez sur le tissu le réseau des méridiens et des parallèles, que vous défassiez la couture et remettiez votre tissu à plat,  voici l'image que vous obtiendriez de vos méridiens et parallèles. Méridiens en rouge et parallèles en bleu sur l'image ci-dessous.

Si c'est votre mappemonde ou votre globe terrestre que vous avez habillé, vous tenterez de situer sur cet atlas les villes de votre choix. Afin de vous guider, nous vous signalons que sur cet atlas les méridiens et les parallèles sont équidistants de 3,75°. Les plus courageux pourront tenter de représenter les continents ... de quoi occuper les soirées d'hiver ! *

à suivre ...

Notes :

               * un fois ceci fait vous pourrez inverser les pôles et observer les modifications que cela apporte à votre atlas.

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Je ponce donc je sue !

ensuite, seulement, j'essuie.

.

Que faisiez vous au temps chaud ? Je ponçais ne vous déplaise. Eh bien ! vous auriez mieux fait de penser ... on transpire moins ... surtout avec cette poussière.

Mais voilà ... on ne pense pas toujours à tout. Et puis, il faut bien avancer des billes.  Nous avons habillé notre sphère avant d'avoir compris ou réglé ces affaires de transport parallèle. C'est d'ailleurs la ponceuse à la main, que nous y avons pensé.

Nous reviendrons donc sur ces transports parallèles ... qui nous ont fait "suer des neurones" cet été et nous ont valu de croiser les dahus et les surfaces développables (n°18 à n°20).  

Pour l'instant nous vous livrerons le résultat de notre transpiration.

Sauf à trouver une sphère de 80cm de diamètre dans le commerce on se la fait et ce sont des rondelles à calculer, découper, assembler puis poncer. 1% de réflexion, le reste en transpiration ! .. et courbatures au début. * 

à suivre ... assez de fatigue en une seule page !

Note :

        * La courbure mathématique entraîne parfois des courbatures ... au début principalement !

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Le 1er janvier

l'Esprit Sain

est venu frapper à notre fenêtre.

J'étais bien serein

ce n'était pas une Colombe

mais j'ai bien cru apercevoir mes anges !

Le message était assez clair et au nom de tous les membres de l'institut,

je me charge de la mission de vous le transmettre.

Après l'hiver reviendra  le printemps,  l'été,  l'automne ... et puis l'hiver à nouveau.

C'est tout simple !

On peut en faire ce qu'on veut ! 

Alors je vous l'offre.

Comme il n'y avait pas d'ambiguïté,

que ce n'avait pas l'allure d'un voeu pieux,

tâchons d'en prendre de la graine

et demeurer serein.

Note : pour les passionnés des nombres, l'esprit sain m'a annoncé d'un air volage, avant de me quitter, que 2011 est un nombre premier

et que ce serait un miracle si en cette année la fameuse conjecture de Goldbach était résolue.

Je dois vous avouer que je me suis demandé ce que cela venait faire là !

Note de Note : cette conjecture énonce que "tout nombre entier pair est la somme de deux nombres premiers"

et cela fait presque trois siècles bientôt qu'on s'y casse le dents et qu'on reste le bec dans l'eau ! 

 !

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Il eut fallu que je m'y prisse autrement.

C'est à présent, alors que c'est du  passé,

que tu nous présentes l'imparfait

...

au subjonctif !

Polisson,  va!

Nous n'avons aucune honte à vous avouer que maintenant nous nous y prendrions autrement.

Cependant, le labeur lent et physique permit d'incorporer des notions que les machines ou les produits finis nous auraient fait ignorer. La courbure (abstraitement simple), lorsque vous passez  des milliers de fois votre main sur la surface pour l'obtenir, prend corps et vous découvrez la sensibilité extrême de celle-ci. * A l'usage, nous découvrons que la main décèle de très légères variations de courbure. C'est assez décourageant lorsqu'on ponce et tente d'atteindre la perfection. Comme nous l'avons entendu dire : l'infini est assez long ... surtout vers la fin. En ponçant on a au moins l'occasion de rêver. Poncer est une véritable drogue ... nous en oublions de manger ... et buvions des bières ... la levure redressant les courbatures ... ça compense. (Faut vraiment être c...!)

Maintenant que c'est passé et dépassé nous nous accommodons de l'imparfait ... et l'accordons ... à titre indicatif. 

L'image en tête présente la manière dont nous avons d'abord tenté de reporter le patron sur la sphère via les parallèles et les méridiens. Théoriquement exacte, à l'usage elle se révéla imprécise ... avec notre matériel rudimentaire. Nous avons préféré une solution bien plus empirique, mathématiquement moins élégante, mais qui se manifesta plus précise. C'est à cette occasion qu'émergea la pensée des transports parallèles.

La petite bande est un morceau de surface développable

Note :

          * la main bien entendu ... parce que la surface, bien que pas encore habillée, demeurait indifférente !

NDR : 

        * Nous ne pouvons résister au plaisir de vous glisser ce poème :

Ah ! fallait-il que je vous visse,

Fallait-il que vous me plussiez

Qu’ingénument je vous le disse

Qu’avec orgueil vous vous tussiez.

Fallait-il que je vous aimasse,

Que vous me désespérassiez,

Et que je vous idolâtrasse

Pour que vous m’assassinassiez !

                H. Gautier-Villars, Déclaration d’un grammairien à sa mie.   .... le crime était plus que parfait ! De nos jours ne préfèrerait-on pas plutôt la "petite mort" ?

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Sacrebleu, Ventre-saint-gris 

quand tout s'en mêle,

on en voit de toutes les couleurs !

Je vous jure !

En peinture on parlerait de repentir ! Une couche de peinture par dessus et ... plus rien ne paraît.  Dans le cas présent c'était plus désespérant. Plus nous avancions ... plus nous nous enfoncions. Latitude, lassitude et turpitude ... enduits, ennuis et puis quoi encore ?

Alors que commençait à se révéler l'image de ce que nous cherchions à atteindre, nous nous apercevions des fautes irréversibles que nous avions commises dans nos premiers pas. Il aurait fallu tout reprendre à zéro ... refaire une sphère * ... et nous n'en avions pas le courage alors. Alors, on bricole et les fausses notes s'accumulent !  Nous étions bien loin des maths, là, sur lesquelles nous aurions aimé nous reposer. Nous avions décidé de poursuivre ... et il fallait devenir "artiste" avec tout ce que cela a de périlleux ! Penser autrement ! Et poncer encore et encore si besoin ! 

Nous avions compris le fonctionnement et le rôle de cette petite bande comme surface développable.  Nous verrons plus tard que ce n'est pas encore la plus adaptée mais qu'associée à celle correspondant à la solution évoquée au n° 24 elle permet d'assurer un habillage sans avoir besoin du support de la sphère.

Fort de ceci et conscient des compromis que nous allions devoir adopter : enduit, ponçage ; nous nous engageons définitivement dans cette voie. Ce sera encore long mais tant pis ... patience et longueur de temps ... une sorte de sérénité s'empare de nous. Prenons cela comme une activité physique, les courbatures étant déjà bien résolues.

Note :

          * pour être honnête nous devons vous déclarer que nous en avons réalisé deux autres mais de plus petit diamètre (50 cm et 30 cm) afin de proposer une progression avec des solutions différentes ... mais c'est la plus grande (80 cm) qu'il aurait fallu refaire. 

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Enlevez... c'est pesé !

.

Bien que la "Sphère" ne soit pas très lourde puisqu'elle est creuse (environ 30 à 40Kg) , son volume donne une impression de poids... Considérable ? Non, mais suffisant pour donner quelque inquiétude à passer en dessous.* Il nous semble qu'il y a une relation inconsciente entre "volume" et "poids". A ce sujet nous vous livrons une anecdote qui nous arriva dans notre enfance. Alors en colonie de vacances au bord de la mer nous vîmes une "boule" ou "sphère" ? En tout cas elle avait la dimension, et donnait l'impression, d'un ballon. Imaginez la suite. Un grand coup de pied... et misère de misère ! Ce n'était pas un ballon ! Etait-ce une "boule" ?(pleine ou creuse ?) . Ce n'était plus l'heure de poser la question (Sans doute était-ce une boule d'amarrage pour petit canot ou une boule pour plomber les grands filets de pêche) . Mais notre pied s'en souviendra pour le reste de nos jours : ne pas se fier aux apparences. Notre pied ne sera plus aussi bête ! ** C'eut été une sphère de la dimension de celle ici réalisée, que nous n'aurions jamais songé taper dedans... elle nous aurait semblé trop lourde pour la déplacer d'un coup de pied. Nous aurions plutôt cherché à la faire rouler en la poussant... ce qui est bien différent... comme attitude.*** 

Vous remarquerez que l'habillage n'est pas complet. Ce n'est pas paresse ou fatigue de notre part. C'est volontaire. Hors mis le fait qu'il s'agissait pour nous de nous approprier, à notre manière, et accompagner une aventure mathématique (celle qu'Etienne Ghys nous avait dévoilée) , nous sommes convaincus que l'habillage complet eût nui... Nous ne nous inscrivons pas dans le "design" ou bien "les métiers d'art". Assez d'éléments étaient fournis pour laisser à l'oeil le plaisir de compléter et achever par l'imagination. La sphère, totalement habillée, nous frustrerait de cette liberté.

Par contre, nous soignerons la présentation (si l'occasion se présente) pour mettre en scène cette impression de danger. A l'image de la présentation ci-dessus, qui ne doit être regardée que comme un brouillon, nous soulèverons la sphère avec un palan à deux brins et contrepoids. Nous prendrons soin des rondelles dessous et des cordes qui l'enveloppent. Il serait préférable que le point haut du palan soit à une hauteur assez conséquente (4 à 5m) . La sphère sera à hauteur telle que l'on puisse la voir par dessus et la faire bouger. L'idéal serait dans un escalier afin de pouvoir l'observer par dessus et dessous.

à suivre...

Note :

        *    la boule (la sphère pleine) réalisée comme ceci, en contreplaqué de densité 0,6 à 0,7;  pèserait environ 160 à 190 kg pour un volume de 268 litres.  

        **  Question au psy : Est-ce pour cela que nous n'avons aucun attrait pour le football ?

        *** Il nous semble qu'également la matière de la surface induit une information, sur l'état de l'intérieur, qui peut être fausse sachant que l'intérieur peut être vide. Enfin... mieux vaut taper dans un kilo de plume qu'un kilo de plomb, à volume égal... c'est plus doux !  

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Twist... and twist !

en anglais

en français on pourrait traduire par

C'est vraiment tordu ! 

.

Bien que nous ne vous avons pas encore fourni les dessins des petites bandes (comme évoquées au n° 24) qui permettraient de réaliser l'habillage de la sphère... sans la sphère, nous abordons l'étape suivante. C'est le prolongement de la proposition d'Etienne Ghys, qui lui donna l'occasion de définir et habiller une surface encore inédite. Cette surface, à laquelle il donna le jour, est une surface de courbure constante dont la courbure est négative et égale à -1. 

La sphère est une surface de courbure constante égale à 1 lorsque son rayon vaut 1. Le cylindre, le cône, le plan sont des surfaces de courbure nulle. Nous avons tous eu l'occasion de côtoyer des surfaces à courbure négative, par exemple le pavillon d'une trompette, ou bien la selle de cheval ou bien encore au niveau du creux des reins. Ces surfaces n'ont pas une courbure constante. La première qui ait été décrite, ayant une courbure constante négative est la pseudoshère. Son auteur est Beltrami ** , au XIXème siècle. Elle est obtenue en faisant tourner autour de son asymptote une tractrice. Ci-dessous deux images de cette pseudosphère. Sur celle de droite, vous voyez un réseau de lignes : ce sont les lignes asymptotiques. Nous y reviendrons car elles constituent un habillage comme nous souhaitons pour la pseudosphère. De même que nous pouvions réaliser l'habillage trivial de la sphère avec notre "sac à patates", il est possible d'habiller simplement la pseudosphère avec ce filet.  

D'autres modèles, dans notre espace quotidien, ont vu le jour depuis.

Nous n'en dirons pas plus actuellement. Observez l'image en tête. Elle représente le modèle d'Etienne. Les lignes en présentent l'habillage **. Elle nous fit penser à ces nouilles qui tortillonnent et nous la nommâmes : Torticolli... car elle nous fit bien tordre le cou avant de saisir précisément sa forme.

Nous développerons, succinctement, dans les prochains numéros... car celle-ci n'a pas encore été réalisée par nos soins (bien que nous en ayons dessiné plusieurs images). La manière la plus élégante consisterait à réaliser les bandes (comme évoquées au n° 24)... puis découper et souder. Ceci est possible, mais nécessite des moyens et une précision que nos outils rudimentaires ne permettent pas d'obtenir.    

à suivre...

Note :

          * Eugenio Beltrami est un mathématicien et physicien italien né en 1835 à Crémone, mort en 1900 à Rome. Il est connu pour ses travaux sur la géométrie non-euclidienne, l'élasticité, l'hydrodynamique, l'électricité et le magnétisme.

        ** L'habillage est incomplet... pour des questions de lisibilité et d'esthétique !  En pièce jointe nous vous avons copié cette image en plus grand format afin de mieux l'appréhender.

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Nous avons

Bien du fil à retordre !

Du ?...  plutôt...  Des !

.

N'ayant pas (encore !) les moyens de réaliser notre Torticolli, nous essayons d'en donner une image représentative. Ceci nous permet de renouer avec le dessin *.

Nous nous apercevons, alors, que les lignes de l'habillage ne sont pas les bonnes informations qui permettent une lecture du "volume". Elles installent une logique qui piège l'oeil et conduisent à une interprétation erronée de la surface. Nous ne disposons pas de "logiciel 3D" qui traite les surfaces avec ombrage, texture et nous nous en réjouissons. Ces outils nous auraient occulté ce qui fait la richesse de ce travail. En un éclair ou quelques "clics" nous aurions obtenu une image telle que nous sommes habitués maintenant à le découvrir. Mais cette facilité nous aurait laissé aveugle ou ignorant de la complexité qui se cache derrière une surface comme celle-ci ; et la relie au travail sur les surfaces seinpathiques que nous avons abordé et que nous poursuivons.

 Tout bon couturier sait habilement habiller une surface, pour en donner une lecture agréable... mais erronée de la réalité !

Nous le prouverons !

à suivre...

Pour information  : Au cas ou vous seriez dans la région de Grenoble - Voiron, venez voir... Pierre Gallais et écouter... Pierre Henry le 25 Février. En pièce jointe le document d'information.

  Notes :

                * technique mixant l'outil informatique et l'empirisme de la gomme et du crayon. Bien que nous ayons entré les valeurs (résultats des équations mathématiques)  dans un fichier Autocad qui permet de numériser en 3D notre objet et le faire tourner dans l'espace, le travail de dessin se fait ensuite avec Photoshop... ligne par ligne avec traitement à la gomme... comme tout dessinateur classique ou ancien, ou bien comme tout graveur. Le résultat sur ces images est certainement entaché d'erreurs. Mais nous sommes dans  un travail de réflexion qui permet de mettre en place les éléments auxquels nous songeons et sur lesquels nous concentrons notre attention.