MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

L'habitude est une seconde nature.

 vaste sujet !

sur lequel nous eûmes à disserter ...

il y a déjà bien longtemps,

alors que nous étions bien ignorants.

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Dans le numéro précédent nous avions signalé que les lignes de l'habillage ne sont pas les bonnes informations qui permettent une lecture du relief ; qu'elles installent une logique qui piège l'oeil et conduisent à une interprétation erronée de la surface.

Observant l'image ci-dessus, n'avons nous pas l'impression d'en saisir le relief ? Bien sûr nous avons introduit des dégradés simulant un ombrage ou éclairage, mais observez l'image suivante, préalable à ce travail. Nous n'avons que les lignes à l'état brut, et l'impression demeure tout de même.

Quelle famille de lignes convient-il de définir et pourquoi  sont-elles pertinentes ? Les lignes doivent constituer un réseau de lignes orthogonales (sauf aux points singuliers) et le réseau le plus pertinent est celui constitué par les lignes de courbures (maximale et minimale). La justification nécessiterait certainement un développement assez long et nous la laisserons de côté actuellement. Gaspard Monge ((1746-1818) voir notes surfaces seinpathiques N° 6) ,déjà - à la fin de son cours de géométrie descriptive - conseillait aux graveurs d'indiquer les lignes de courbure des surfaces qu'ils représentent afin de donner du relief.... Rien de nouveau sous le soleil... ?!  Mais il n'est vraiment pas simple en général d'exhiber ces courbes. *  Toutefois avec du métier (une certaine habitude) , par empirisme et tâtonnement, nous arrivons à une assez bonne approximation. Les dessinateurs et graveurs de talent en ont une connaissance intuitive qui a de quoi étonner !

L'image de Torticolli vue sous cet angle, avec ses lignes (bien que correctes), donne une fausse impression. Il y a du creux (concave) là où nous avons une impression de bombé (convexe). Bien qu'elle soit de courbure constante cette surface est plus compliquée à appréhender qu'une sphère. Tant que nous n'aurons pas réussi à exhiber les lignes de courbure nous demeurerons dans le tâtonnement... et comme nous n'avons guère de talent... En son centre les deux lignes de l'habillage correspondent à des lignes de courbure et nous pouvons, lorsque nous ne nous en écartons pas trop, saisir (mathématiquement et empiriquement) l'allure et en donner la modulation... mais lorsque nous nous éloignons nous nous sentons bien souvent piégés.      

 à suivre...

  Notes :

                * Il faut d'abord établir le tenseur de courbure en chaque point de la surface, puis en extraire les valeurs propres et directions propres. Ceci définit un double champ de vecteurs orthogonaux sur la surface. Ensuite il suffit de calculer les lignes de champ ! Y-a-qu'à... mais faut qu'on... et cela est une autre paire de manches. Actuellement et depuis seulement quelques décennies nous réussissons à le faire pour une surface (quelconque) dont on ne possède pas d'équation. Il faut mailler la surface (triangulation) et pour cela on scanne la surface. Ceci est possible de nos jours grâce à la technologie et l'usage de logiciels qui permettent de réaliser des calculs qui auraient demandé à Gaspard Monge des années de sa vie. Ces techniques sont d'un usage courant dans l'industrie (aéronautique par exemple), les films d'animation (images virtuelles) et même la médecine.

MATHAZINE

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l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Patience et longueur de temps....

 vaste sujet, également !

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Bien que la représentation ne soit qu'une parenthèse dans notre étude nous nous y acharnons.

Bien que cette surface soit assez simple dans sa compréhension ( nous en avons actuellement une image mentale assez claire) elle nous réserve bien des difficultés quant à sa représentation. Et il est bien heureux, même si nous buttons souvent, de ne pas posséder les logiciels appropriés. Cet exercice auquel nous n'aurions pas songé nous permet de mette en oeuvre nos calculs ... mentaux... et picturaux.  Peindre ou dessiner devient, ici, un exercice mathématique empirique. Les lignes n'étant pas la bonne information il s'agit, en s'appuyant sur celles-ci (puisque c'est la seule que nous possédons) d'extraire des informations de courbure et éclairement. Ceci nous oblige à travailler avec l'image mentale que nous nous nous sommes construite au travers des outils mathématiques. A chaque nouveau pas c'est notre oeil qui nous sert d'outil de contrôle. Bien souvent il nous faut laisser décanter car ce qui semblait correct un jour... apparaît distordu le suivant. Il nous faut également mener de pair le travail sur des images correspondant à des angles de vue différents. 

Ci dessous quelques images d'une progression *. 

Ces exercices qui nous semblaient gratuits, inutiles et besogneux, nous ne les regrettons pas : ils nous permettent d'avancer dans le domaine des surfaces seinpathiques que nous menons toujours de pair et qui profitent de ces réflexions...

Lorsque nous possédons un moulage d'une surface seinpathique, l'obtention des lignes de courbure est assez aisée. Géométriquement :  La normale à une surface le long d'une ligne de courbure engendre une surface développable. Nous constatons que, si (approximativement) nous déplaçons un crayon perpendiculairement à la surface, assez naturellement notre main fait suivre au crayon une surface développable. Ceci n'est, bien évidemment, qu'une constatation mais nous avons plusieurs fois renouvelé l'expérience sur différents exemples et observé que le réseau des lignes tracées semblaient, à l'oeil, convenir. Gaspard Monge (voir numéro précédent) le notait quand il expliquait la taille des pierres, pour construire une voute, en suivant les lignes de courbure. Le geste est assez naturel et s'explique mathématiquement par le fait que le ciseau constitue un morceau de plan perpendiculaire (à la surface) dont le tranchant est un vecteur tangent à la surface dans une des directions principales de courbure. Le mouvement de la main qui déplace le ciseau (pas à pas) lui fait décrire une courbe dont le vecteur tangent demeure un vecteur principal... donc suit une ligne de courbure. Demeurerait à expliquer pourquoi le tailleur oriente son ciseau suivant une direction principale ! Nous y reviendrons... Rappelez vous : nous avons signalé que la ponceuse ou la lime permettait de sentir les géodésiques... ici le ciseau permet de saisir les lignes de courbure.... la main est un bon outil mathématique... même s'il est approximatif.   

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 à suivre...

  Notes :

                * ces images, encore fraîches, demeurent certainement encore entachées d'imprécisions et sont susceptibles d'être remodelées