MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

Habillage... bas... Billage

    où nous verrons

que

S'il n'est déjà pas simple d'emballer les billes... sans froisser,

Habiller un galet est une autre paire de manches !

N'imaginez pas que bien que Mathazine fut interrompue pendant une année, nous nous reposions dans nos hamacs. Imathginer n'est pas de tout repos et l'imagination, parfois, reste en souffrance.

Suite à la conférence conduite conjointement par Sylvie PIC (artiste), Etienne GHYS (mathématicien) et nous même à l'occasion de notre exposition "i -MATH-ginez" en janvier de cette année *, Etienne vint nous proposer d'emballer une sphère selon la procédure qu'il venait de démontrer....  Nous saisîmes la balle au bond.

Souvenez vous : dans le chapitre de Mathazine consacré aux surfaces Basiques nous avions évoqué la distinction entre surface collante et surface moulante, toutes deux surfaces enveloppantes de la surface basique. Le traitement des surfaces basiques par la surface collante associée, nous avait conduit à considérer une mathière infiniment élastique : le lathex. Dans le cas de la surface moulante il ne peut plus être question d'élasticité et cependant nous souhaiterions que la surface moulante permette de laisser un certain degré de liberté dans les mouvements et puisse suivre les déformations. Un tissu fait de fils métalliques pourrait donner un exemple de matière concrète susceptible d'illustrer l'objet mathaphysique que aurons à mathnipuler dans ce chapitre.

Pour et par ce travail nous nous approchons encore de plus près des préoccupations qui tracassent les couturiers. Pour ce travail qui fera intervenir des patrons et dont la complexité mathématique déborde nos compétences nous nous placerons sous le contrôle du sain patron Etienne Ghys, mathématicien-géomètre-topologue de son état.

L'emballage des billes a déjà une longue histoire. Au prochain numéro  nous résumerons un épisode qui introduit à notre étude et conduisit à produire la démonstration qu'Etienne nous dévoilait.    

Note :

            * année 2010 . Le public ne fut pas nombreux, mais ceux qui étaient présents pourront dire dans quelque siècles (lorsque la mathologie aura fait son chemin) :  "j'y étais"... même si ici Ghys et nous même n'y seront plus ! 

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Au matin du dimanche pascal

    voici ce que nous avons trouvé à notre porte !

Il faudrait vraiment être cloche pour confondre empaquetage et emballage. Par ailleurs, ce serait une hérésie d'imaginer qu'il puisse y avoir quelque relation métaphysique ou spirituelle entre ellipsoïde et emballage. Ceux qui pourraient le croire seront chocolats et n'auront que les oeufs pour pleurer.... s'il leur en reste ! Néanmoins, ce serait presqu'un miracle si nous réussissions à emballer une surface seinpathique...sans froisser ! 

Cependant il apparaît bien clairement sur cette image qu'il ne soit pas inimathginable qu'il puisse y avoir quelque relation mathaphysique entre le filet à patates * et les réseaux de Tchebychev ! **  

Notes :

            * dans cette étude nous serons amenés à introduire un objet mathaphysique : la pathate, qui est la concrétisation de l'ellipsoïde. L'ellipsoïde étant un objet abstrait qui n'existe à l'état pur que dans l'espace des mathématiques, toute tentative pour le plonger dans notre espace concret nous conduit à quelques approximations. Certains galets divaguant sur les plages bretonnes, lorsqu'ils sont bien ronds, peuvent faire songer aux pathates.

Il nous faudra faire une distinction entre plongement et immersion. Cette distinction n'est pas toujours évidente pour qui n'a pas une pratique suffisante de la géométrie différentielle, mais la confusion peut conduire à quelque mathate * et alors... c'est la purée !

            ** Dans le numéro précédent nous vous avions indiqué qu'au numéro suivant nous vous raconterions la déjà longue histoire de l'emballage des billes. La contingence nous a écarté de notre chemin. Nous ne manquons pas de suite dans nos idées  mais l'ordre n'est pas toujours linéaire. Parfois il peut suivre celui des algèbres de Boole... dont une représentation n'est pas sans rapport avec nos emballages en réseaux.... mais c'est une autre histoire...  Dans un ordre booléen, tout couple de sujets a un être supérieur et un être inférieur. Nous vous laissons imaginer la représentation en mettant des bâtons... De là à habiller une surface seinpathique avec une algèbre de Boole... il fera chaud ce jour là !

Note de Notes :

            * Mathate : une mathate est une erreur dans une démonstration. Certaines tomathes ne sont que des mathates. C'est lorsqu'on essaie de réduire la tomathe à ses atomathes que l'on s'aperçoit si elle contient ou non des mathates. On dit qu'on est dans la purée lorsqu'on n'arrive pas à se débarrasser des mathates. Eplucher les mathates est un exercice imposé aux étudiants au cours de leurs études en vue de les exercer à la mathurité. ( voir le dictionnaire de mathologie incorporé à l'édition papier de Mathazine)  

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Une certaine presse à sensation.

Nous pouvons vous raconter la déjà longue histoire de l'habillages des billes.

Au dernier quart du 19ème siècle un certain mathématicien russe Tchebychev * fut sollicité par l'armée (russe) pour se pencher sur des problèmes d'habillage afin de faire des économies de tissu. Il ne remplit pas vraiment son contrat mais se piqua au jeu et de fil en aiguille réussit à produire une démonstration qui validait le fait d'habiller un hémisphère avec une seule pièce de tissu... sans couture. Homme pratique ou bien quelque peu joueur... (ce n'est pas à exclure lorsqu'on s'intéresse aux probabilités ??) lors d'une conférence le 26 août 1878 à Paris il exhibe une balle en caoutchouc "habillée" par ses soins  ( en fait deux hémisphères avec une couture à l'équateur). Pour plus de détails et développements nous vous renvoyons au papier écrit par Etienne Ghys ** et à la Thèse d'Anne-Marie Décaillot ***.

Etienne Ghys n'a pas pu saisir la balle au bond puisque cette balle a disparu de la circulation mais c'est dans l'esprit de continuer ce jeu, auquel il s'est piqué, qu'il réussit à trouver un prolongement ; lequel l'a conduit récemment à fournir la preuve qu'il est possible d'habiller la sphère toute entière en n'utilisant qu'une seule pièce de tissu ****. Non pas selon un "habillage trivial" comme il le nomme mais en étendant la procédure amorcée par Tchebychev. Ses papiers demeurant encore confidentiels nous demeurerons discrets.

Entre ces deux dates l'intérêt des mathématiciens pour ce qu'ils ont convenu d'appeler les réseaux de Tchebychev  a fait son chemin et nous les retrouvons "en liaison avec les surfaces à courbure négative constante et les équations aux dérivées partielles, dites de sine-Gordon"  (Etienne Ghys). Mais ceci n'est susceptible de trouver place que dans les revues dites "spécialisées" réservées à un public averti et initié !

une publication qui ferait sensation et effet de manche*****

dans les

Annales de la Mathologie

Notes :

            *  Tchebychev (Pafnouti Lvovictch), Okatovo 1821 - Saint Petersbourg 1894, mathématicien russe. Fondateur et directeur d'une importante école mathématique, il s'intéressa aux problèmes d'approximations, notamment en probabilités, aux fonctions elliptiques et à la théorie des nombres. (petit Larousse 2002)

            **  extrait du texte d'Etienne Ghys :     "Le titre de la conférence du 28 août à Paris, à l'occasion (de *) la septième réunion de l' Association pour l'avancement de la Science, semble avoir été " Sur la coupe des vêtements" (d'après [25, 26]) alors que le titre du manuscrit (de Tchebychev) contient le mot "habits". La conférence fut semble-t-il un grand succès; le livre [20] relate que la balle circula parmi des participants ravis et que les jeunes organisèrent un jeu avec cette balle dans une cour du lycée..."

            *** Décaillot Anne Marie : Edouard Lucas (1842,1891) : le parcours original d'un scientifique français dans la deuxième moitié du XIXe siècle, thèse de l'Université Paris 5-René Descartes, 2 vol., 1999

            **** Pour être précis avec un seul morceau de tissu sans aucune couture ni plis il couvre 74% de la sphère et en prolongeant le morceau de tissu et moyennant quatre petites coutures, sans plis, la sphère entière est couverte. 

            *****  Carabistouilles :  n.f.pl. Belgique. Fam. Bêtises, fariboles. (Petit Larousse 2002)....     Larousse n'est pas tendre...! avec Pierre Galet qui a pourtant travaillé avec beaucoup de sérieux à définir des "itinéraires Bis" dans le cadre de "l'art sur la Place" ** en 2003.

Notes de notes : 

            * le "de" manque dans le texte d'Etienne Ghys. Il nous semble que ce soit une faute de frappe aussi nous permettons nous de corriger. 

            ** à ne pas confondre avec l'art sur Laplace ( célèbre mathématicien (note de note de note ... on n'en finirait plus... consultez votre dictionnaire)) qui se rapprocherait  beaucoup plus des préoccupations abordées dans le cadre de cette étude.  

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C'est pas le tout d'démontrer, faut emballer.

mais

 Le plus difficile c'est pas d'emballer, c'est  d'démontrer !

Dans notre contexte emballer et habiller sont  synonymes. Pour le mathématicien il s'agit, considérant une surface nue, de la recouvrir d'un double champ de vecteurs unitaires, c'est à dire de réussir à définir en chaque point deux vecteurs unitaires tangents à la dite surface et de direction différente. Les lignes de champ de chacun de ces vecteurs définissent un réseau de lignes qui se croisent, à la manière d'un tissu. Bien évidemment une fois cette chose faite... liberté lui est laissée de la déshabiller... mais c'est une autre affaire. Encore faut-il qu'il ait bien compris comment il l'avait habillée s'il ne veut pas tout déchirer ou bien s'emmêler dans le filet qu'il aura tendu.

Champ de vecteurs unitaires se traduit par : les fils qui constituent le filet ne sont pas élastiques.... ce n'est pas du lathex !  Tangent à la surface veut dire que le tissu colle à la peau... c'est un moulant.

Emballer ou habiller une surface basique ou seinpathique est un horizon bien lointain... même si nous pouvons vous affirmer que ceci est localement possible. L'objectif est de réussir à le faire avec le moins de morceaux possible, ... D'un seul morceau ? Est-ce possible ? Il faudrait le démontrer !

Dans un premier temps nous vous exposerons deux procédures qui permettent d'habiller une sphère. Surface simple dont la courbure constante est positive. La première solution est communément rencontrée dans la vie courante, la seconde a été récemment démontrée et exposée par Etienne GHYS. Ensuite nous aborderons le cas de l'ellipsoïde quelconque... une sphère en quelque sorte ... même longueur, même largeur, même hauteur ( 1 par exemple)  sauf que vous auriez pris ( par exemple ) 1 décimètre pour la longueur, 1 centimètre pour la largeur et 1 millimètre  pour la hauteur. Même équation  .... mais ça change tout... comment s'y prendre pour mesurer ... c'est quoi le patron ? Il faut pourtant bien trouver un maître... tailleur ? C'est encore le mètre... mais il nous donne du fil à retordre ! *

Note :

            *Etienne, à qui nous avions posé la question, nous a répondu qu'il n'avait pas encore de solutions pour habiller un ellipsoïde. Bien que le passage de la sphère à l'ellipsoïde semble tout naturel, la courbure non constante de cette surface entraîne de très lourdes complications dans les équations. Par défit personnel nous nous sommes mis en tête d'habiller un galet dont certains se rapprochent de certains ellipsoïdes. Avec notre filet à patates nous avons obtenus ce que vous avez pu observer sur les images de Habillage-bas(S)billage n°2 : un habillage que l'on pourrait nommer trivial. Si en première approximation la chose semble possible.... il faudrait encore le démontrer ! 

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Sphère ou Ellipsoïde ?

Les deux mon capitaine,

ça ne fait pas un plis !

Une solution, en passant, pour stocker les sphères

....

sans prendre trop de place.

Un problème récurrent auquel se trouve confronté tout sculpteur, si il ne vend pas ses oeuvres, est le stockage de celles-ci. Même si l'oeuvre est totalement creuse, ça n'en demeure pas moins une surface qui occupe un certain volume dans l'espace. Passé un certain seuil de production il est submergé *, à moins de faire dans la poupée russe ou la poupée dégonflable.

Imaginons un artiste de la sphère ... mathématique **.

En procédant comme sur l'image ci-dessus, il pourra aussi bien démonter les disques circulaires qui s'emboîtent puis les empiler ou aplatir la sphère. Sphère ou ellipsoïde ... un peu la même chose ... il suffit de "plier" suivant un axe...mais tellement différents ! 

Dans cet exemple nous sommes partis d'une sphère que nous aplatissons, nous obtenons des pathates . En aplatissant totalement nous obtiendrions une galette ellipsoïdale de grand axe 2Re2 et de petit axe 2R si R est le rayon de la sphère. Il est également possible de partir d'une pathate car elle contient deux familles de cercles. La même procédure d'emboîtement et pliage permet de construire ainsi toute sorte de pathates en n'utilisant que des cercles ***. 

Ceci nous conduit à vous faire un aparté qui justifie le terme de mathologie.

La réalité existe et l'essence qui l'alimente est mathématique. Si les mathématiques baignent dans leur essence, l'espace qu'elles habitent est éthéré. Notre réalité a certes besoin de cette essence mais ne peut faire l'économie des sens. Notre réalité est concrète. Si pour les mathématiques l'essence du plan n'a ni poids ni épaisseur, dans notre espace celui ci se révèle à nous sous la forme, par exemple, d'une feuille de carton (... plate !) d'une certaine épaisseur. L'essence d'un ellipsoïde (plein) est constituée d'une (double) infinité continue de disques circulaires d'épaisseur nulle ( ( : x 0... peut donner quelque chose de fini non nul )... Attention, ceci est un abus de langage, dans notre langage concret.... mais nous ne sommes pas des anges ! ).  Avec l'infinité de disques qui constituent l'ellipsoïde, le mathématicien réussit en le pliant à produire une galette d'épaisseur nulle ( : x 0 = 0 ).  On croit rêver...C'est pour nous qui sommes concret de la pure mathologie !  puisque déjà, avec seulement quelques plaques de carton, passé un certain seuil ...ça coince dans les articulations. Malgré tout, c'est bien parce que nous avons imathginé une feuille de carton d'épaisseur nulle, puis que nous nous sommes considérés ange ou pur esprit un certain temps, que nous avons réussi à produire ce que vous avez sous les yeux. Un objet concret qui, si nous fermons un peu les yeux, a tantôt l'air d'une sphère, tantôt l'air d'un ellipsoïde.... même si il laisse passer les courants d'air.

Plasticien - mathématicien nous devons souvent voyager entre le pur et l'impur ... c'est l'enfer ! Suivant pas à pas le cheminement parcouru par le mathématicien, qui conduit par pliage de l'ellipsoïde à l'ellipse, nous serions amenés à penser qu'il y a une bijection entre le galet et la galette !  Gallais fait des galettes... est-ce un hasard ou une nécessité ?

Gallais fait des galettes par nécessité. Ceux qui ont eu l'occasion d'en déguster savent que sa galette bretonne est assez bourrative... elle remplit bien l'estomac et règle le passage du plat au volume... par ingestion !                   

injection... ingestion,,,,,,,, bijection... digestion : est une suggestion fallacieuse et l'abus de langage peut s'avérer nuisible à la santé mentale.

Note :

            *  ne pas confondre avec plongement et immersion évoqués dans un numéro précédent.

            ** Nous vous invitons, particulièrement,  à découvrir le travail de Vladimir Skoda dont l'oeuvre tourne essentiellement autour de la sphère qu'il charge d'une composante cosmique plus que mathématique.

            *** dans notre exemple nous n'avons pas utilisé beaucoup de disques ... par paresse et parce que nous voulions seulement souligner au passage une propriété des ellipsoïdes ; propriété que nous utilisons en partie lorsque nous en réalisons.

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Laissons nous dériver !

au sens courant du terme.

Au sens mathématique faire une dérivation consiste géométriquement à prendre la tangente. Dans le langage courant, prendre la tangente c'est fuir ou éluder la question. Pour sauver sa peau, en cas de catastrophe parfois il vaut mieux ne pas jouer les braves...  prendre la tangente, voire prendre les jambes à son cou ! On évite la tuile.

Il n'y a pas urgence à emballer les billes, bien que la démonstration fournie par Etienne Ghys  - soumise au contrôle d'une commission avant publication -  vienne d'être acceptée.

L'image ci-dessus n'est pas sans rapport avec la proposition d'Etienne qui prolonge l'habillage de la sphère et le conduisit, en corollaire, à produire une surface nouvelle de courbure négative et que nous nommâmes TORTICOLLI.

Laissons nous dériver... sans fuir la question et filer à l'anglaise. 

Dans le numéro précédent nous avons caressé l'idée d'une bijection entre ellipse et ellipsoïde. 

Bijection ???  "Une place pour chaque chose et chaque chose à sa place", telle était la leçon que nous rabâchaient nos maîtres et nos parents, histoire de nous rappeler à l'ordre !

Nous nous souvenons d'avoir longtemps médité enfant devant une étagère (un casier plutôt branli-branla) où notre père stockait les pièces à l'atelier.

Nous développerons dans les prochains numéros. Pour l'instant observons l'image ci-dessus.

Il y a un lien entre la sphère-ellipsoïde du numéro précédent, l'étagère évoquée, cette image, nos préoccupations d'emballer les billes et la production de Torticolli*.

Une charpente est un réseau de lignes (droites) se croisant à angle droit en général. A chaque intersection se trouve une liaison (un clou ou deux par exemple) qui laisse cependant un degré de liberté.

Dans la partie droite de l'image nous voyons que la charpente est encore demeurée plane : les deux séries de droites sont demeurées parallèles.

Dans la partie gauche nous remarquons que les poutres et le liteaux  ne sont plus parallèles alors que les chevrons leur sont toujours liés. Nous n'avons plus un plan. Bien que cette image ne soit qu'une approximation, nous percevons que la charpente prend ici l'allure d'une surface courbe. Mathématiquement nous savons que ces deux réseaux de droites appartiennent à la surface nommée paraboloïde hyperbolique... une surface de courbure négative. C'est une surface réglée suivant deux directions. On peut donc produire avec un "plan"** de courbure nulle une surface de courbure négative. Il y a encore bijection mais plus isométrie. Si toutes les tuiles auraient encore pu rester sur la partie de droite, sur la partie de gauche il en aurait manqué et vous auriez eu un trou ou une déchirure .

Ceci nous conduit à prendre conscience d'une notion mystérieuse : la mesure. 

Méditer devant des étagères branlantes nous a permis de saisir cette image peu fréquente, nous imaginons, d'une catastrophe qui rapproche le plan du paraboloïde hyperbolique. C'était il y a bien vingt ans, nous retournions en Bretagne, le chemin était long... si cette catastrophe fut une tuile pour le propriétaire, ce fut pour nous une aubaine. Nous profitâmes pour faire une pause.   

Note :

            *    toute dérive qui conduirait à penser "qu'emballer les filles entraîne le torticoli" n'engage que la responsabilité de ceux qui louchent.

            **  "plan" : il faut lire ici la charpente du plan, c'est à dire le réseau des droites parallèles qui se coupent à angle constant et supportent les tuiles. 

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 Dans quel état j'erre ?

Repassons plutôt nos leçons.

il faut parfois s'y plier !

.

"Une place pour chaque chose et chaque chose à sa place"

Ndla : Une fois l'an toute entreprise est tenue de faire l'inventaire des stocks. Cette tâche assez rébarbative qui consiste à compter ce qu'il y a en magasin nous revenait en partie. Ce n'était guère réjouissant, n'était cette étagère dans l'atelier au dessus de la forge, qui branlait et contenait toute sorte de pièces. Chaque case avait une image, une représentation de l'objet contenu dans celle-ci et un nom : "boulon poêlier de 10 x 20", "vis tête fraisée de 8 x 40", "boulon six pans creux de 12 x 60", "rivet de 6 x 20", "dent de scie", etc... A 10 ou 11 ans nous ne songions pas aux bijections mais nous nous souvenons du plaisir de voir cette association d'une image, d'un nom inconnu et de l'objet ... puis surtout de l'ensemble visuel que cela formait *.  Nous nous souvenons également du plaisir malin à tenter le diable et voir jusqu'où nous pourrions plier cette étagère sans rien faire tomber.

Emerveillement et plaisirs gamins qui marquent d'une trace indélébile l'esprit vierge de toute orientation. Si mathématique il devait y avoir elle porterait la marque et reposerait sur du concret **. 

Observons notre étagère ! 

Sur la première rangée nous l'avons seulement pliée. Remarquez la diagonale verte ... elle raccourcit au pliage alors que les côtés demeurent constants. Nous aurions pu la concrétiser par un fil de latex ou de lathex. La verte se raccourcit au pliage alors que la violette s'allonge.

Sur la deuxième rangée nous avons construit un escalier s'appuyant sur la diagonale. Imaginons une fourmi qui descend cet escalier. Elle reste en contact avec les marches autant à l'horizontal qu'à la verticale. Lorsqu'elle aura descendu totalement l'escalier elle aura dans chacun des cas parcouru le même chemin ; à savoir 10 unités si chacun des côtés des cases de notre étagère  (première rangée) vaut 1. Alors que la diagonale se raccourcit vers la droite.

Sur la troisième rangée nous avons augmenté le nombre de marches. Notre fourmi ne s'apercevra pas du changement et parcourra la même distance en descendant l'escalier, soit 10 unités alors que la diminution des marches rapproche l'escalier de la diagonale ... qui raccourcit vers la droite.

Nous pourrions ainsi réduire le pas de chaque marche (c'est-à-dire augmenter le nombre de marches) à l'infini. Bien sûr, il faudrait sans doute passer de la fourmi au microbe mobile adhérent à la marche ... mais il ne nous est pas interdit de rêver et dans le rêve tout est possible ... la fourmi infinitésimale existe. Notre fourmi infinitésimale parcourrait toujours la même distance (10 unités) alors qu'elle s'approcherait de la diagonale dont on voit que la longueur varie. Y aurait-il un paradoxe ? ou quelque mystère ?

Il y a en fait quelque chose qui relève du mystère (mathstère ?) et que nous nommerons le continu.

Dans le découpage en escalier même si nous sommes allés à l'infini... cet infini était dénombrable ... nous pouvions compter. Notre diagonale, ce fil de lathex, relève d'un autre infini. Nous dirons un infini d'ordre supérieur ***.

Si cela ne vous fait pas rêver, ou bien si cela ne vous émerveille pas... c'est que vous n'avez pas de prédisposition à ce genre de poésie. D'une part vous avez travaillé à découper votre escalier une infinité de fois... et rien ne changeait et si vous arriviez à sauter dans l'autre infini... le chemin aurait été plus court. C'est de la mathologie et le Grand Matheur est un malin.

"Et pourtant c'est vrai"  comme aurait pu dire Galilée, puisque vous le vérifiez chaque jour... lorsque vous coupez à travers champ ou allez au plus court.

Mesure... démesure. Rassurez vous, les mathématiciens gardent bien les pieds sur terre et pour la mesure ils n'utilisent pas ce fil de lathex qui s'allonge ou raccourcit à loisir. Pour mesurer ils prennent une ficelle non élastique mais selon les cas ils changent les formules pour calculer les longueurs. Nous vous renvoyons à ce bon vieux théorème de Pythagore que vous avez sans doute côtoyé ... et qu'il faut adapter dans les colonnes de droite de notre image.

Au passage vous noterez que la mesure établit un lien entre objets et nombres ... deux univers bien différents. 

Le continu à de quoi étonner et émerveiller.

à suivre.... le chemin est long et les détours nombreux avant de réussir à emballer les billes !... ou comprendre comment le faire.

Notes :

            *    Plus tard au lycée ce sera toujours un plaisir de dessiner des écrous hexagonaux. C'était du dessin industriel et pourtant nous ressentions une émotion devant un boulon bien dessiné ! ?.

            **  Nous retrouverons la même chose en musique qui nous semblait bien abstraite jusqu'à ce que par hasard nous entendions sur notre poste à transistor "Variations pour une porte et un soupir" de Pierre Henry.... Voilà, enfin, de la musique, ... concrète ... sur laquelle nous pouvions mettre une image *.

          ***  Cet infini là pose d'ailleurs toujours question. Georg Cantor (à la fin du 19ème siècle) qui est à l'origine de réflexions sur l'infini a même évoqué la possibilité de plusieurs infinis entre cet infini dénombrable et cet infini continu. C'est une hypothèse ou conjecture qui n'a toujours pas été réglée. Il semblerait qu'il ne soit pas possible de prouver qu'elle soit vrai ou fausse. Plus loin encore dans l'histoire, remontant à Pythagore et à son école qui se voulait d'expliquer le monde au travers des nombres "naturels" (1,2,3, ..) et les fractions (1/2, 2/3,  21/7, ...) les pythagoriciens étaient bien embarrassés par cette diagonale qui n'arrivait pas entrer dans le cadre de leur théorie alors qu'ils constataient son existence et évidence. Sa longueur ou mesure n'était ni un nombre naturel, ni une fraction (cela, ils l'avaient rigoureusement démontré). Cela dépassait la raison et ils l'appelèrent nombre "irrationnel". Cette découverte devait rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité : "Tout est nombre". "Nombre" au sens d'un entier ou d'une fraction. Jusqu'à ce qu'un des membres de la Fraternité, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. L’historien et philosophe, Proclus (Ve siècle), déclara à ce sujet :" On dit que les gens qui ont divulgué les nombres irrationnels ont péri dans un naufrage jusqu’au dernier, car l’inexprimable, l’informe, doit être absolument tenu secret ; ceux qui l’ont divulgué et ont touché à cette image de la vie ont instantanément péri et doivent rester éternellement ballottés par les vagues. "... Ca ne rigole pas et parfois les mathématiciens peuvent se révéler sinon sectaires tout du moins exclusifs !

Note de Notes :

        * si la musique concrète a trouvé un prolongement dans la musique acousmatique et si le mot "acousmatique" - remis à l'ordre du jour par François Bayle pour qualifier le fait de la séparation entre la source et la situation d'écoute - provient de l'Ecole Pythagoricienne, il ne faut chercher aucun lien avec la géométrie ; bien que cette musique, lors de la diffusion principalement, prenne en compte la dimension spatiale. Nos préoccupations spatiales et géométriques nous ont valu et valent  de tisser des liens fréquents entre espace plastico-mathématique  et espace plastico-musical dans le cadre de concerts. Bien que maintenant nous pensons que nos installations ne sont plus que décor ... la pratique ou le métier fait oublier les réflexions originelles qui agissent sans doute par automatisme. Lorsque nous coupons à travers champ nous ne pensons plus appliquer le fameux théorème de Pythagore. Nous aurions beaucoup à dire quant au lien qui nous rattache à la musique acousmatique, ayant découvert la musique sur notre poste de radio - situation acousmatique par excellence. Ceci a pour conséquence qu'il nous est difficile de nous accommoder aisément, lorsque nous devons éclairer un concert, de la présence de l'interprète sur scène. Sacrilège aux yeux de certains que concevoir la musique sans musicien... mais nous sommes plasticien et obscurantiste plutôt qu'éclairagiste ! Alors nous les éclairons à contre-jour... c'est un moindre mal.  Nous ne vous enmailerons pas avec les fils de nos installations ! 

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 Ceci n'a pas l'étoffe d'un théorème mais pourrait bien l'étoffer.

Nous préférons rester discret et ne pas tout dévoiler.

 Peut-on demeurer discret ?

C'est une question que l'on doit se poser,

 avant d'emballer les billes. 

L'infini dénombrable demeure discret (au sens mathématique du terme) ... Même si vous arriviez à compter sur vos doigts ou bien en alignant des petits bâtons... jusqu'à l'infini, entre chaque nombre il n'y aurait rien. Les nombres ne seraient pas collés les uns aux autres. Lorsque vous sautez dans le continu, soit en prenant une corde en lathex ou bien un fil de fermath non élastique... chaque point est collé à son voisin. Si vous coupiez le fil ... (couper n'a pas de sens, disons mathssicoter), comme tout est collé, là où vous coupez de quel côté irait le point où vous coupez ? A gauche ou à droite. Politiquement ce ne serait pas correct et ce serait attribuer au point des intentions qu'il n'a pas. Disons que le point étant neutre il préfèrera vous rester entre les doigts et les deux bouts de gauche et de droite comme une plaie ouverte susceptible de cicatriser *

Pour emballer les billes nous demeurerons discrets pour une part et nous penserons en continu pour une autre part. 

Empruntons à nouveau notre escalier.

Chaque marche et contremarche est continue, ainsi que la diagonale sur laquelle elle repose. C'est le nombre de marches qui est discret jusqu'à l'infini. Prenons un point sur une marche (ou contremarche). On peut lui associer le point sur la diagonale qui lui correspond par projection (voir le dessin). Cette correspondance montre qu'à chaque point de marche ou contremarche ne correspond qu'un seul point sur la diagonale et réciproquement. Cette correspondance est une bijection... chaque chose sur la diagonale  trouve sa place sur une marche ou contremarche  et chaque place sur la marche ou contremarche trouve sa chose sur la diagonale.  Des deux côtés nous sommes dans le continu (aucun trou... dans le raisonnement)  même si le nombre de marches est discret ... et pourtant le chemin est plus long en suivant l'escalier qu'en se laissant glisser sur la diagonale. C'est à ce niveau là que le continu apparaît mystérieux et oblige à considérer une autre notion que l'on appelle la mesure. Deux éléments continus peuvent se correspondre point par point et n'avoir pas la même mesure**. Il existe cependant des correspondances entre certains éléments continus qui respectent point par point la correspondance et la mesure. Nous en faisons quotidiennement l'expérience et l'usage, sinon notre vie serait un enfer. Ce sont les isométries. 

Les isométries sont assez contraignantes et la géométrie nous enseigne qu'il n'y a pas d'isométrie entre le plan et la sphère ... C'est bien embarrassant lorsqu'on a pour ambition d'habiller une bille,  puisqu'il s'agit d'aller couper dans le plan pour recouvrir la bille. Oui ! mais nous n'avons jamais songé à habiller une bille avec une chape de plomb ou une feuille de vigne*** . Nous cherchons à habiller la bille d'un morceau de tissu ( même si celui-ci est métallique) et le tissu c'est un peu comme notre étagère  : chaîne et trame ... ligne et colonne. Très serré c'est un tissu, assez lâche c'est un filet ou résille.

à suivre.... le chemin est long et les détours nombreux avant de réussir à emballer les billes !... ou comprendre comment le faire. Nous nous excusons auprès de ceux que les maths ne font pas rêver.

Notes :

            *    Nous vous renvoyons au chapitre de Mathazine relatif aux surfaces basiques et l'origine du monde avec ses cercles vicieux, son mathssicot....

            **  Revoir la page 95 de Mathazine papier où nous évoquons l'étonnement de Georg Cantor lorsqu'il réussit à montrer une correspondance bijective entre la droite et le plan.

            *** La feuille pourrait être de vigne vierge que cela ne changerait rien au problème. L'affaire se situe à un autre niveau.

MATHAZINE

La revue de

l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

premier essai ... nous ne lèverons pas encore le voile ... si c'est cela que vous attendez.

Habillée         ou            Non    

une bille c'est

et

ce n'est qu'une bille.

Le charme ou la valeur d'une bille n'est pas dans l'objet ou le résultat. Habillée ou non une bille demeurerait vulgaire ou banale... ce qui en fait le charme ou la poésie réside dans l'attention et l'intérêt que nous portons à l'habiller ... puis la déshabiller si besoin ... et le regard que nous portons sur elle.

Le mathématicien est en cela un poète, portant plus son attention sur les relations (abstraites) qu'il peut tisser ou établir entre les objets qu'aux objets eux-mêmes. Qu'importe l'objet pourvu que demeure l'ivresse.

Pour le plasticien l'affaire est plus délicate. Il ne peut séparer l'essence des sens. Sensible à la forme et à l'image, parfois, ce qui ne serait qu'indécence dans la réalité prend un sens par l'orientation qu'il donne à l'objet et au regard. 

Pour le mathématicien peu lui importe qu'un champ de vecteurs puisse se concrétiser sous la forme d'un réseau de fils tissés. Ce qui lui importe c'est de définir et étudier ce champ afin de recouvrir ou habiller la surface... si tel est son objectif.

Pour le plasticien que lui importe de savoir que le vêtement dont il habille sa surface soit un champ de vecteur si la matière ne dégage aucune sensualité ou sensibilité. 

Pour le matheur l'intérêt réside dans le fait qu'un vêtement soit un champ de vecteurs ... concret et sensible. 

Nous poursuivrons donc notre dérive qui nous écarte de notre objectif premier. Evitons les autoroutes qui nous conduiraient rapidement à vous montrer l'habillage mathématique de la sphère ou l'image plastique du résultat. Empruntons les départementales, voire les chemins vicinaux... Si nous gardons le cap sur notre objectif, en chemin, nous traverserons des paysages que les autoroutes négligent. Nous nous excusons auprès des lecteurs que cela pourrait ennuyer mais nous allons traverser des paysages mathématiques. Nous ne ferons pas dans l'aquarelle ni dans la dentelle mais nous garderons l'oeil dans le colis matheur.   

à suivre.... le chemin est long et les détours nombreux , etc ...

MATHAZINE

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l'institut de Mathologie- Pierre Gallais

 pour monter la sphère nous avons dû emprunter l'escalier

Linéaments

Pour tendre un lien entre le discret et le continu, pour tenter de sauter d'un infini dans l'autre nous vous suggèrerons le paysage suivant. 

Imaginons une toute petite île habitée par deux propriétaires qui ne peuvent s'accepter. Après règlement judiciaire il a été convenu de partager l'île en deux par une clôture. D'un bord de la mer (falaise) au bord symétrique (falaise) sera tendu une clôture faite de fils * qui devra, bien entendu, s'appuyer sur des poteaux ... (" le fameux problème des piquets et des intervalles, en sorte ? " - " oui, mais nous irons plus loin "). Les piquets représenteront le discret et les fils le continu. Vous pourrez placer autant de piquets que vous souhaitez, il y aura toujours un intervalle ou fil entre deux piquets. Si nous laissons filer la mathaphore on pourrait imaginer que chaque piquet n'a pas d'épaisseur et que nous puissions en placer une infinité... dénombrable entre les deux bords de mer, avec cependant toujours un intervalle entre... : un tout petit bout infinitésimal de fil, bien sûr. Nous n'irons pas aussi loin dans un premier temps pour comprendre. Ne comptez pas les piquets et même si vous savez qu'il y a un piquet de plus que d'intervalle ce n'est pas là que nous voulons en venir. Pour qu'il y ait clôture ou fermeture il faut un piquet à chaque bout. Si vous ôtez l'un ou les deux piquets des extrémités la clôture sera ouverte et plus clôture par conséquent. Les fils assurent la continuité mais si vous ôtez l'une ou/et l'autre des extrémités vous avez un segment ouvert. Les deux piquets extrêmes assurent la fermeture. Les piquets intermédiaires en nombre fini ou infini ne servent qu'à accrocher le fil.

Nous nous placerons dans l'hypothèse où il n'y a pas d'autres infinis entre le dénombrable et le continu. Soit vous êtes dans le dénombrable, soit vous êtes dans le continu.

Nos piquets reliés par le fil sont dans le dénombrable , si ils étaient dans le continu...où serait le fil ? il aurait disparu et c'est un mur que vous auriez élevé et non plus une clôture !

Nous dirons que le fil aussi petit soit-il porte la puissance du continu.  

Les mathématiciens ont donné un nom particulier à ce petit bout de fil : "élément différentiel", un élément aussi petit que l'on veut mais mesurable. Mesurable !!?? Ces éléments ne sont pas élastiques : ce ne sont pas du lathex **. Si vôtre clôture est bien droite et si le fil est bien tendu, vous pourrez enlever un piquet, le fil restera tendu. On pourrait dire que vous avez additionné comme avec les nombres naturels et que la mesure de l'élément différentiel obtenu ainsi aura pour mesure la somme des mesures des deux éléments d'origine. Ce qui voudrait dire que vous avez attribué à ce bout de fil ou à sa mesure une qualité de nombre ... ce qu'il n'est pas à priori. Avec les piquets vous pouviez additionner ... ce qui n'est en sorte que rassembler et compter.

Dans la clôture il y a un bout de fil de moins que de piquets ... il suffit de compter. Les bouts de fils comme les piquets sont des objets "séparés" et on peut additionner le nombre de bout de fils comme le nombre de piquets. Si vous avez placé vos piquets de façon régulière et bien alignés, tous les bouts de fils seront identiques et si à chacun de ces bouts de fils vous lui attribuez un nombre (1 par exemple) que nous appellerons mesure ou longueur ... il est possible d'additionner . 

Nous voyons donc, quand tout est droit et dénombrable, qu'il est possible d'établir un "parallèle" ou isomorphisme entre (un monde fait de piquets additionnables) et (un monde fait de fils mis bout à bout).

C'est ici que nous allons faire le saut dans le continu. Rien ne nous y autorise, sauf notre imagination. Ces petits fils,(éléments différentiels) aussi petits que l'on veut ou qu'on imagine, nous leur attribuons un nombre ou mesure. Nous ne savons pas ce que cela peut encore bien pouvoir dire mais comme ce tout petit bout de fil existe nous lui collons une étiquette (comme pour nos vis et boulons dans notre étagère dans Habillage-bas(S)billage n°7) de nombre et nous additionnons ou mettons bout à bout ! Il y avait isomorphisme tant que nous étions dans le dénombrable ... nous prolongeons par imagination maintenant que nous sommes dans le continu. Voilà tout ... mais n'oubliez pas que tout reste encore droit ! Il faudrait nous appesantir sur la manière de définir ou construire ce nombre ... pas naturel du tout***.

Imaginez que l'un des deux propriétaires remarque que la clôture n'est pas bien droite ... ( il y a un piquet qui sort du rang ) et demande de corriger le tir. Que faire ? Déplacer le dit piquet, bien entendu, et le remettre dans le droit chemin. Que remarquerez-vous ? Que le fil bâille ! ( "C'est à dormir debout, votre histoire !" - "encore heureux que nous ne vous demandions pas de faire le piquet ... mais attendez la suite" ). La somme des deux mesures au sens habituel de l'addition ne convient plus. Pardi, souvenez vous de l'escalier et du semblant de paradoxe, il ne faudrait pas croire que nous soyons allés imaginer des êtres nouveaux qui seraient la copie de ce qui ne convient plus. Nous déclarerons qu'ils vérifient dans l'infinitésimal ce que le théorème de Pythagore nous permet de constater dans le macroscopique. C'est notre choix et nous sommes libres d'imaginer ce qui nous plaît. Vous pourrez bien assez tôt nous sanctionner si notre imagination n'est pas cohérente ou conforme à la réalité. D'ici là laissez vous porter par la vague.

- " Soit je veux bien patienter, mais votre Théorème de Pythagore est bien vieux, n'y aurait-il pas nécessité de le mettre au goût du jour ou de l'actualiser ? "

- " Nous allions y venir mais sachez qu'un théorème est éternel ...c'est le Grand Matheur, tout puissant, qui en décide ... puisque c'est lui qui pose et impose ses axiomes. Le contester est hérésie mais rien ne vous y interdit. Etant plus exigeant que vous nous irons plus loin, vous auriez pu nous rétorquer que ce fameux théorème suppose d'être dans le plan et avec un angle droit... alors que rien n'assure que l'île soit partout parfaitement plane".

Continuons.

- " Vous ne pourriez pas attendre un peu ? Je sens venir comme un mal de mer, tout me semble tordu et flottant. Je n'imaginais pas qu'emballer des billes allait conduire à des aventures aussi périlleuses ". 

- "Soit ... "

suite au prochain numéro.

D'ici là reposez vous sur l'escalier et profitez en pour observer : que les marches soient grandes ou petites elles étaient formées par deux côtés d'un carré et soutenaient toujours une diagonale qui n'est qu'un morceau de la grande diagonale. Il suffit de zoomer pour s'apercevoir que rien n'a changé géométriquement. Donc quelque soit l'échelle vous avez la "même différence proportionnellement" **** entre la somme des côtés et la diagonale. Ce qu'il faut remarquer réside dans le fait que faire une marche c'est comme mettre un piquet... nous demeurons dans le dénombrable. Si vous sautez dans le continu... ce n'est plus un mur, comme dans l'exemple précédent, que vous élevez mais c'est la diagonale que vous constituez. Même différence entre clôture et mur qu'entre escalier et diagonale : deux objets de nature différente. 

Notes :

        *       Pour notre démonstration les fils n'ont pas besoin d'être barbelés ni électrifiés.

        **     Pour être cohérent il nous faudrait partir des cercles vicieux ... le détour serait long.

        ***   Pas naturel du tout puisque les grecs sous Pythagore ne pouvaient concevoir le monde autrement constitué que de nombres naturels ou fractionnaires et ne pouvaient imaginer ces nombres réels qui nous sont si familiers maintenant et permettent de concevoir la mesure. Ou réciproquement ... qui est le premier de la poule ou de l'oeuf ? 

       **** Pour être correct il faudrait dire le même rapport   

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 TRIVIAL ... poursuite

  faut, tout de même, suivre !

Nous avons emballés deux ballons de tailles différentes avec le même filet. Qu'observez vous ? Sur celui de droite les mailles, au niveau de l'équateur, se rapprochent plus du carré que dans celui de gauche et les courbes sont plus accentuées à droite qu'à gauche.

Cela s'explique bien entendu ! Rappelez vous l'étagère.

Ayant utilisé le même filet nous avons le même nombre de mailles pour couvrir le périmètre à l'équateur de nos deux ballons. Si le périmètre augmente il est possible de l'enfermer avec le même nombre de mailles mais celles-ci s'aplatissent. Comme on ne fait pas de miracles vous pouvez observer qu'il faudra un filet plus long pour un ballon plus gros. On démontre par le calcul qu'il y a une valeur optimale pour un maillage (valeur du côté de la maille) donné qui minimise les longueurs de fil utilisé c'est celui dont l'angle au sommet A (au niveau de l'équateur) correspond à 113,74°. Donc un maillage un peu aplati au niveau de l'équateur ... si vous voulez faire des économies ... De bouts de ficelles diront les mauvaises langues ! *

Dans le schéma ci-dessus nous sommes à plat. Si chacun des côtés (rouges) de notre losange vaut  a la mesure ou longueur de la diagonale (verte) vaut d telle que d^2  = 2a^2  - 2a^2 . cos(A)   (a^2 pour a au carré) ... c'est Pythagore revu et corrigé quand l'angle A ne vaut pas 90° et qui donne le fameux Pythagore car lorsque A vaut 90° le cosinus est nul. Imaginez de fabriquer un deuxième rang avec le même côté a mais en changeant la valeur de A. Si A est plus petit la diagonale verte sera plus courte (voir la table des cosinus si besoin) et si vous voulez joindre les mailles vous allez créer de la courbure. Multipliez les rangs en définissant une loi qui définit l'angle  A à chaque rang et vous construirez une surface courbée. Remarquez qu'ainsi, en gardant A constant sur chaque rang,  c'est une surface de révolution que vous générez. Passez tout cela au niveau infinitésimal et vous définirez une mesure sur la surface.

Ainsi exprimé vous sentez bien qu'il y a une relation entre la courbure d'une surface et la loi de variation de cet angle A. Avis aux fins bricoleurs aux doigts de fées : Passez dans l'infiniment petit et faites des microsoudures.

à suivre.

Notes :

         *  Ceci nous renvoie à une anecdote qui nous avait frappé en son temps. Pour certains produits il faut faire le vide pour conserver. Par exemple : le lait. Comment faire le vide ?  Aspirer l'air dans un récipient donné : cela suppose une dépense d'énergie. Mais on peut imaginer faire le plein et par conséquent ne plus laisser de place pour l'air à vider. C'est il nous semble, sommairement, la solution adoptée par le procédé Tétrabrik : prenez un long tuyau que vous remplissez et toute les unités vous pincez et soudez... plus d'air et pas besoin de faire le vide. Economie de bouts de ficelles qui a fait la fortune de Tétrapak ou Tétrabrik.