Mathazine est la revue de l' institut de Mathologie - Pierre Gallais.

Mathazine existe depuis début 2003 et paraît sous forme de pages internet envoyées par Email au rythme d'une page par semaine lorsqu'un thème est abordé.

La nature Email définit la forme de la revue. Cependant, lorsque nombre de numéros sont parus, comme nous avons de la suite dans les idées, il n'est pas aisé de retourner ouvrir chacun des fichiers sans perdre le fil du développement. L'édition papier que nous avons réalisé permet de circuler plus facilement à travers les différentes pages. Cette présentation respecte la forme originale,en cela que chaque page est la copie, réagencée, de la page Email.

A l'heure actuelle nous proposons la version papier des thèmes suivants :

Le Pilchart
Le Site Paillart
L'Etude des Surfaces Seinpathiques
L’Etude des Surfaces Basiques

Nous joignons la copie du

Dictionnaire de Mathologie

qui permet de préciser le sens de certains termes qui apparaissent dans le texte et dont la définition ne se trouve dans aucun dictionnaire classique.

Afin de ne pas vous noyer dans le fleuve des démonstrations mathématiques nous avons choisi de rester sur les berges. Nous vous demandons de nous apporter votre crédit, mais si quelque erreur de raisonnement vous apparaissait nous vous saurions grès de nous les signaler.

Mathazine : un livret de 108 pages au format A4 paysage en quadrichromie

sur papier couché moderne satiné de 150 grammes et 300g pour la couverture ; façonnage : dos carré collé.

Vous pouvez vous procurer le livret  pour 25€ + frais d'envoi en nous contactant.

Si vous pensiez que ce qui est math n'est guère reluisant, nous espérons au fil des pages égayer vos maths, hier, grises.

Les pages suivantes sont extraites de la revue.

DESSEIN ABSTRAIT

La Cissoïde

Où partant d'une MACHINE THÉORIQUE
en faisant du CINÉMATH HEROIQUE

on aboutit

quand elle ne manque pas d' R à une MACHINE RHÉTORIQUE
quand elle aspire le H à une MACHINE ÉROTIQUE

Définition générale des courbes cissoïdales :

Étant donnés dans le plan une droite D et un point O hors de cette droite, si à tout point P du plan on fait correspondre le point M tel que, Q étant l'intersection des droites OP et D, on ait OM* = PQ*, lorsque le point P décrit une courbe C, le point M décrit une courbe C* dite courbe cissoïdale de C relativement au point O et à la droite D. ***

Nous représenterons le vecteur OM par OM*... ceci parce que nous avons des problèmes avec la police... d'écriture !

La courbe obtenue à gauche est une cissoïde de cercle. Les suivantes sont des cissoïdes d'ellipse. Nous pouvons remarquer sur ces exemples l'influence de la courbe C (en forme et orientation), de la place de O sur C ainsi que de la position relative de D par rapport à C.

Bien que le principe de la Mathcine Héroïque soit simple, sa réalisation pratique nécessite un matériel de précision, une rigidité des bras et une souplesse des articulations. L'institut de Mathologie tient à la disposition de ceux qui souhaiteraient fabriquer et commercialiser la machine les plans détaillés et cotés de celle-ci.

L'utilisation de notre Machine Érotique nous permet d'envisager un classement des différentes formes de courbes Seinpathiques. Nous présentons ci-dessous trois exemples de courbes seinpathiques et leur cissoïde associée

Note :
*** La définition nous permet de dire que si C* est "cissoïde" de C,... C est "cissoïde" de C*

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MATHER

Géométrie de l'œil et géométrie de la main

Considérant une surface aussi simple que celle représentée en ses cinq images (photographie... oeil) comment ne pas être perdu ! Bien difficile ! Si vous pouviez la caresser vous pourriez en donner une description plus claire ( pas complète... mais plus claire). Vous pourriez parler de sa "rondeur", des variations de celle-ci... mais voilà vous n'y avez pas accès puisqu'elle est en photo ! Sur les images, ici présentes, de cette surface vous avez cependant déjà un guide : ce sont les différentes courbes des tranches. Vous pouvez remarquer qu'elles diffèrent d'une image à l'autre. Vous pourriez affirmer que nous avons à faire à des ellipses... vous vous tromperiez ce sont toutes des cercles ! Même en la caressant vous ne pourriez pas le dire sauf peut-être aux quatre points que sont les ombilics.

Nous avons ici un ellipsoïde  dont les trois axes ont des valeurs différentes. Surface toute simple en soi puisqu'elle peut être produite avec des cercles mais déjà l'œil est mis à mal. Que dire alors d'une surface seinpathique, relativement simple dans l'ensemble des surfaces possibles et imaginables mais plus complexe que notre ellipsoïde. On peut passer sa vie à mater de telles surfaces et demeurer aussi étonné ou ignorant si on n'apprend pas à mather. La main est un meilleur outil pour aborder de telles surfaces... mais hélas beaucoup de surfaces qui nous semblent sympathiques nous sont interdites ( il n'y a pas que dans les musées qu'il est interdit de toucher...   à titre d'anecdote : malgré l'interdit, ne gardez vous pas en mémoire quelques sculptures dont certaines parties sont plus polies que d'autres ?...  le public en cachette des gardiens doit bien y passer la main ).

La géométrie de l'oeil est la géométrie projective celle également des appareils photos et des projecteurs de cinéma (les petits devant, les grands derrière pour la photo.. ou bien l'arbre qui cache la forêt). La géométrie de la main est la géométrie des surfaces. Deux géométries disjointes. Comment en regardant pourrions nous réussir à extraire des informations qui relèvent du toucher ? Réciproquement comment le fait de caresser peut nous apprendre à regarder ? Le jeu de l'ombre et de la lumière est une solution particulière et incomplète au problème. Mais elle est présente en tout lieu où il y a une source lumineuse... c'est à dire partout où on peut voir. Nous pouvons essayer de résoudre notre problème en cherchant des courbes qui seraient significatives pour l'oeil et la main. N'oublions pas que c'est notre cerveau qui voit, qui touche... informé par l'oeil, la main et en fonction de ses acquis ou apprentissages. 

Remarque : avec nos deux yeux nous voyons en relief... ce n'est pas faux et en plus nous avons le mouvement... ce n'est pas faux.  Mais qu'est ce que cela nous apporte si nous ne réussissons pas à extraire (et mémoriser) une information pertinente !

Avant de plus nous étendre sur les surfaces nous devrons faire un retour dans le plan qui est une surface élémentaire... (au regard des surfaces seinpathiques) et dans lequel la géométrie a une allure à laquelle nous sommes plus habitués somme toute.

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ERRANT EN PLAN ...

 ....  la main s'ennuie. Aucune variation dans l'information qu'elle reçoit. Sans doute percevra-t-elle une certaine qualité de planéité, de matière. Certainement car aucune surface réelle n'existe qui soit un plan mathématique. Nous connaissons certains plans dont la qualité au contact émeut la main. Cependant ils ne doivent pas avoir une étendue très grande, car la monotonie de la surface n'incite pas au voyage.

L'œil aussi s'ennuie à contempler un plan. Il se trouve que souvent il y a des informations tracées sur celui-ci mais elles ne relèvent pas de la surface. Prenons deux droites parallèles... comme l'œil fonctionne selon la géométrie projective pour peu que ces deux droites ( segments de droite pour être correct) soient prolongées suffisamment loin il les verra comme se rejoignant... s'il se déplace il les verra toujours comme se rejoignant. C'est une propriété de la géométrie projective. Si ces deux droites avaient été tracées en relief et que vous promeniez votre  main  (deux doigts) sur ces deux droites vous pourriez bien aller jusqu' à l'infini... vous ne percevriez aucune variation.

Ainsi donc le plan ne présente aucun intérêt pour notre étude... nous devrions nous arrêter là. Toutefois avant de démissionner nous vous invitons à tracer sur une feuille de papier deux droites parallèles  puis à rouler celle-ci. La surface la plus simple que vous obtiendrez sera sans doute un cylindre, mais vous avez certainement déjà fait des cônes ou bien en achetant un cornet de frites vous avez pu constater que le marchand l'obtenait à partir d'une feuille de papier. Il existe quelques autres surfaces simples mais moins évidentes que vous pourrez essayer de réaliser... regardez, avant de le jeter, comment est réalisé le tube de carton sur lequel était enroulé votre Sopalin (essuie-tout) !

La famille de surfaces que nous pouvons réaliser avec la feuille de papier (sans la torturer) s'appelle " surfaces développables ". C'est à l'aide de ces surfaces que les couturiers essaient d'approcher la surface compliquée que constitue un vêtement... en traçant ce qu'on nomme le "patron".

Nous verrons, en son temps, comment à l'image du calendrier des seins à l'institut de Mathologie nous avons développé de manière succincte un catalogue de seins patrons qu'un collaborateur est allé proposer à la vente sur les marchés à l'enseigne au sein des seins. Mais ne nous égarons pas... roulez votre feuille et regardez ce que deviennent vos deux droites parallèles. Selon comment vous aurez placé vos deux droites par rapport à votre " roulage" vous aurez peut-être des surprises.

à suivre...

Note :

Si vous prenez une bande assez longue de papier et que vous ne vous contentiez pas seulement de la rouler mais que vous la tordiez également, vous réussirez sans difficulté à produire une surface que l'on nomme " Bande de Möbius". Loin d'être antipathique elle ne saurait en aucune manière, et à plus d'un titre, entrer dans la catégorie des surfaces seinpathiques que nous traitons.

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NAPOLÉON

Bon aparté... mais on reste en plan ! *

Waterloo, Waterloo... morne plaine !  Mais du haut de ces pyramides...**

Pour le brave grognard... de Waterloo (à part les combats) il ne pourra dire que : "un kilomètre à pied ça use, ça use...deux kilomètres... etc...".

Pour celui là juché sur sa pyramide, il pourra seulement constater des colonnes allant en s'amoindrissant. Sachant que les grognards qui auront parcouru plus de chemin seront devant, ils s'identifieront à ceux qui lui apparaissent plus petits ( les petits devant, les grands derrière ? Ne mélangeons pas : les petits devant, les grands derrière c'est pour la photo. Et si on mettait les grands en tête de colonne, les petits derrière ? Ca ralentirait seulement un peu la fuite... mais vraiment si peu). 

Le grognard est dans la géométrie des surfaces. Notre Napoléon est dans la géométrie projective. S'il voulait avoir une connaissance du chemin parcouru par les hommes en tête de colonne il lui faudrait mather... le plus simple serait pour lui de compter le nombre de rang et sachant la distance moyenne entre chaque rang dans la colonne... etc. Mais si la colonne est assez longue il y a de forte chance qu'il n'arrive plus à distinguer les rangs. Et puis que lui importe la longueur de la colonne, il préfèrerait savoir combien il dispose de soldats. Monge ne devrait pas être loin... le père de la géométrie descriptive en connaît assez en projective pour lui faire les calculs adéquats... pas besoin d'aller chercher Poncelet encore moins de faire appel à la formule de Laguerre (d'ailleurs Laguerre n'existait pas encore) !  

Dans le plan, la géométrie projective peut encore nous renseigner (moyennant un calcul) sur des notions de distance qui réfèrent à la géométrie des surfaces.

Waterloo, Waterloo... morne plaine !  Faudrait pas aller trop loin... car la terre est ronde et alors là... ça complique. La géométrie projective pourrait encore servir mais il faudrait en passer par le rayon de la terre et des calculs plus laborieux !  

Notes :

    *  de retour de Bruxelles nous fîmes le crochet par Waterloo... et faillîmes rester en plan, notre véhicule menaçant de ne plus être auto-mobile : il toussait ! Parti pour méditer sur la mathérialité, la réalité nous contraignit à ... et nous oubliâmes de prendre les photos que nous étions venu recueillir (peut-on imaginer pire ratage que le piratage de photos sur le site internet ?... veuillez nous en excuser !). Bifurcations et Catastrophes ne sont pas seulement mathématiques (voir René  Thom : "la théorie des catastrophes consiste à dire qu'un phénomène discontinu peut émerger en quelque sorte spontanément à partir d'un milieu continu") !

    ** cette pyramide là ressemble plutôt à un cône... ce qui pourrait justifier... mais c'est très subjectif et n'engage que votre responsabilité.

    Monge Gaspard : comte de Pluse, Beaune 1746 - Paris 1818, mathématicien. Il accompagna Bonaparte en Égypte. Créateur de la géométrie descriptive, il prit une part active à la création de l'École normale supérieure et de l'École polytechnique. Ses cendres ont été transférées au Panthéon en 1989.

    Poncelet Jean Victor, Metz 1788 - Paris 1867, mathématicien. Il jeta les bases de la géométrie projective(1822) et enseigna la mécanique physique et expérimentale (1848).

    Laguerre Edmond Nicolas, Bar le Duc 1834 - 1886, mathématicien. Officier d'artillerie, polytechnicien, il enseigna à l'École Polytechnique. Ses travaux portent sur la géométrie projective (géométrie et transformations de Laguerre), les formes quadratiques, les fractions continues, les systèmes linéaires et la résolution des équations numériques.

    Thom René, Montbéliard 1923 - Bures sur Yvette 2002, mathématicien. Il doit sa (relative) popularité non aux travaux qui lui ont valu la médaille Fields (1958), la plus haute distinction des mathématiques, mais au fait d'avoir développé la théorie des catastrophes, base mathématique du chaos.

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ceci n'est toujours pas un Dahu mais un Seinsecte

Le DAHU

un animal mathologique (suite)

Bien que le dahu puisse nous introduire à la compréhension de la géométrie des surfaces seinpathiques son emploi ne se présente pas sous un aspect facile à l'usage.

Supposons que par mutation génétique nous réussissions à produire un dahu dont les pattes soient égales des deux côtés et dont les vertèbres n'aient qu'un degré de liberté. Ainsi, même si ce mutant manifestait des désirs, il lui sera impossible de changer de direction. Il pourra seulement courber l'échine*. Plus question pour notre néodahu de tourner en rond ! Le chemin parcouru par les pattes de gauche est égal à celui parcouru par celles de droite. Dans le plan qu'elle seront les trajectoires ? Des droites.... qui sont également le plus court chemin entre deux points. Nous l'appellerons Dahrecteur en référence à cette rectitude du déplacement

Imaginons maintenant que notre dahrecteur évolue sur une surface seinpathique (laquelle n'est pas plane).Nous pouvons imaginer que celui-ci se déplace sur le plan tangent en ce point à la surface **. Ce plan, même infini, n'ayant pas de poids bascule chaque fois que le dahrecteur avance. L'axe autour duquel le plan bascule est perpendiculaire au plan formé par la normale à la surface en ce point *** et la direction du mouvement du dahrecteur ****. Dans ce plan (mobile d'une certaine manière) nous pourrons observer les traces laissées par le dahrecteur dans son déplacement (ses empreintes et ses crottes... rappelez vous). Comme le dahrecteur est solidaire du plan (d'une certaine manière... il ne peut pas s'apercevoir de notre supercherie) dans ce plan la courbe tracée par les empreintes sera une droite. Supposons que ce plan soit comme du grillage qui laisse passer les crottes...  (excusez nous si le terme vous choque mais ici elles sont d'un usage mathérialiste)... elles laisseront sur la surface la trace du déplacement de notre animal : la longueur du segment de crottes sur la surface seinpathique étant égal à la longueur du segment des empreintes sur le plan. Dans le plan le segment de droite étant le plus court chemin parcouru... sur la surface le segment de crottes sera le plus court chemin parcouru... ou géodésique. 

Notes :

        * Cette opération est atroce et tyrannique. Nous préférons considérer que notre néodahu est suffisamment paresseux, pour ne pas avoir envie de lui bloquer la colonne vertébrale. La femelle (resp le mâle) pourra ainsi encore se dandiner à la vue du mâle (resp la femelle), s'autoriser (exceptionnellement) un déplacement de trajectoire et permettre... mais ceci ne relève plus de la mathologie pure... plutôt de la biomathologie. 

        **  Si on ne veut pas considérer un plan infini on peut songer à un planche (non savonnée...) *  plane sous les pattes de notre animal dont la partie arrière  se détacherait et viendrait se recoller à l'avant à chaque pas de celui-ci. Cette solution n'est pas une première : les Shadoks pour voyager dans l'espace avec leur vaisseau avaient déjà imaginé que puisque qu'un navire n'a besoin d'eau qu'en dessous de la coque il suffisait de recueillir l'eau à l'arrière du vaisseau ( là où elle n'était plus utile) et la reverser à l'avant pour lui permettre d'avancer... Comment tenait l'eau en suspension dans l'espace ? Mystère ! mais cette solution permettait d'éviter d'avoir à remplir d'eau l'espace... Dans notre cas il n'y a pas de mystère la planche repose sur la surface seinpathique. Comment faire passer l'arrière à l'avant ? il suffit de considérer un tapis roulant qui enveloppe notre néodahu.... pour les détails voir une autre étude ou bien songez comment se déplace un bulldozer avec ses chenilles...**

        ***  La normale peut être regardée comme un champ de gravitation  ou champ mathgnétique perpendiculaire à la surface qui permet à notre dahrecteur de tenir debout c'est à dire perpendiculaire à la surface.

        ****  A l'image des balançoires que gamin nous façonnions : une planche posée sur un tronc d'arbre ou cylindre et sur laquelle nous essayions de rester en équilibre les pieds de part et d'autre de l'axe de basculement. 

Note de notes :

         *   Si la planche était savonnée le dahrecteur risquerait de glisser et foutre en l'air toute la démonstration !

        ** On pourrait imaginer un animal chimérique qui serait comme une chenille de Bulldozer... il ferait très bien l'affaire mais il n'aurait ni queue ni tête... et par conséquent serait stupide. Nous préférons conserver le dahrecteur en équilibre sur son plan tangent... il est plus sympathique.

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Pour les fêtes de fin d'année

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vous accorde

son

BLANC-SEING

De même que les actes sous seing-privé ne sont pas pas passés devant un officier public, les actes passés sous sein privé que vous consignerez sur ce blanc-seing pourront se faire à l'abri des matheurs. Cependant notez que : "Quiconque, abusant d'un blanc-seing qui lui aura été confié, aura frauduleusement écrit au-dessus une obligation ou décharge, ou tout autre acte pouvant compromettre la personne ou la fortune du signataire, sera puni des peines..."  (Code pénal Art. 407 )

Note :

            Blanc-seing : n.m. Papier en blanc, au bas duquel on met sa signature et que l'on confie à quelqu'un pour qu'il le remplisse à sa volonté ( Petit Larousse 1958 )

            Le Blanc-sein serait à classer dans la catégorie des surfaces seinpathiques encore à peine dévoilées. L'étude des surfaces seinpathiques nous a souvent conduit vers de faux seins-blancs qui se révélèrent n'être que des surfaces planes ou quelconques !

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quelques traces laissées par des dahrecteurs ou dahrectrices 

Un MONDRIAN... c'est bien, mais plat...

des mondes riant *...  seraient plutôt...

plus SEINPATHIQUES.

Avant de mather nous vous invitons à bien vous rincer l'oeil et ouvrir vos neurones. Nous serons souvent amenés à adopter simultanément un double point de vue : celui du dahrecteur qui reste au ras des pâquerettes ** ( comme notre grognard à Waterloo) et celui du matheur ( un peu comme notre Napoléon...) extérieur au champ des manoeuvres. 

Qu'est-ce qu'une droite pour un dahrecteur évoluant sur une surface seinpathique ? Nous appellerons droite toute géodésique suivie par un dahrecteur, généralisant  et étendant aux surfaces seinpathiques les propriétés qui étaient communes à la droite et la géodésique dans le cas du plan.

Si dans le plan nous vous avions demandé de tracer une droite sans utiliser une règle du commerce (qui n'est d'ailleurs qu'une approximation de la droite) le moyen le plus simple eut été de vous attacher le service d'un dahrecteur. Comme un ami fidèle...  ... un peu contraignant tout de même puisqu'il ne change pas de direction... sauf parfois lorsqu'il aperçoit une dahrectrice.***  Dans le plan les services du dahrecteur sont limités mais son emploi dans le cadre des surfaces seinpathiques ne sera pas négligeable et vous procurera d'étonnantes surprises.

Sur les images ci-dessus les bandes noires sont les traces laissées par divers dahrecteurs se déplaçant sur une surface seinpathique.

Imaginez que vous ayez accompagné l'un de ces dahrecteurs (un seul dans un premier temps) en plaçant un doigt sur son dos selon la direction du champ mathgnétique (voir "surfaces seinpathiques n° 8")... Votre doigt... relié au cerveau... va vous renseigner sur les variations d'orientation de ce champ mathgnétique ! ****  En observant l'image (c'est votre oeil qui opère) vous essaierez de vous mettre à la place de votre doigt parcourant l'un puis les différents itinéraires suivis par les dahrecteurs.

Bons voyages.... Demeurez cependant bien attentifs tout au long du parcours... certaines variations du champ mathgnétique peuvent être brutales et vous faire chuter !

Notes :

         *    cf. "le Hasard et la nécessité"(... je me gausse...)  en écrivant ceci nous nous souvenons que Carl Fréderich Gauss (C F Gauss  : Brunswick 1777 - Gottingen 1855) a introduit et étudié la courbure des surfaces : courbure de Gauss  (... à se tordre de rire...?).

         **   Ceci n'étant aucunement péjoratif pour un dahrecteur qui se nourrit d'herbe... et de pâquerettes au dessert (peut-être ?).

         *** Pour faire changer de direction votre dahrecteur le moyen le plus simple est de le prendre dans vos bras et de l'orienter dans la direction que vous désirez ( idem  pour une dahrectrice).

        **** On pourrait regarder ce champ mathgnétique comme la pression exercée sur le dos du dahrecteur, laquelle est perpendiculaire à la surface de contact.

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SYMPTOMATHIQUE *

 ou un aparté philosophique  

Considérons la surface seinpathique ci-dessus et les traces (des géodésiques) laissées par une famille Dahu. Considérons que dans le temps le développement de ces traces se soit déroulé de sorte que la partie en haut à droite soit antérieure à la partie basse. En partie haute les traces sont quasi "parallèles" puis s'écartent à mesure que le temps et le chemin parcouru avancent. En partie haute nous pouvons constater que nos deux Dahu suivaient des chemins "parallèles", sans doute est-ce pour cela qu'ils firent un petit Dahu produisant un troisième chemin. Comme le dahrecteur est conduit par sa nature à suivre les géodésiques de la surface et comme les trois chemins ne sont pas confondus il est naturel que le parcours  (de vie) pour chacun sera fonction des caractéristiques de la surface là où il se situe. Même très proches deux points sur une surface peuvent présenter des caractéristiques très différentes qui influeront sur le devenir de la trajectoire. Ainsi au fil du temps et du parcours nos trois Dahu constateront qu'ils s'éloignent (terriblement pour l'un). Au bout d'un temps assez long peut-être en viendront-ils à se croiser à nouveau ou bien même à retrouver un bout de chemin parallèle ? Ce la dépend de la surface. 

Cet exemple  pourrait tenir lieu de morale : lorsque les chemins de vie s'écartent il n'y a pas lieu d'accuser qui que ce soit... c'est symptomathique : la raison en est  la géométrie de la "surface" sur laquelle on évolue.  

Dans la nature paresse et efficacité sont souvent synonymes. La lumière suit les géodésiques de l'espace temps : trajectoire minimale. Considérons une bulle de savon : sa forme sphérique est une surface minimale (surface minimale pour un volume maximal)... Nous aussi ne devrions nous pas laisser les faits se faire plutôt que d'aller contre notre nature et nous perdre dans des considérations qui finissent par n'être que des masturbations intellectuelles et stériles **.

Notes :

       *  symptomathique : 1 Qui est le symptôme d'une situation mathématique. Une déviation, un écart symptomathique. 2 fig. : Qui révèle un certain état mathématique des choses, un état d'esprit particulier. Une rigueur symptomathique. (extrait du dictionnaire de Mathologie)

        **  à ne pas confondre avec la mathsturbation qui est un exercice quotidien auquel se livre le matheur, en l'absence de propositions, pour maintenir ses facultés mathodologigues en éveil. La mathsturbation est au matheur ce que l'entraînement est au sportif. (extrait du dictionnaire de Mathologie)

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Rien ne sert de courir

une surface seinpathique n'est pas un champ de course !

autant y aller très mollo.

Considérons une colonie de dahrecteurs placés sur une même ligne droite D et orientés suivant la perpendiculaire à celle-ci. Tous les dahrecteurs se déplaçant à une même vitesse, à intervalles de temps réguliers marquons la position atteinte par chacun. Reliant ces points nous définirons des courbes d'égale distance à la droite D. Observant ces courbes nous nous apercevons que certains points de la surface peuvent être à deux distances différentes de la droite D  : une courbe de distance d pouvant couper une courbe de distance d', d étant différent de d' .*

Ce qui n'apparaît pas sur cet exemple est que le téton fonctionne comme un attracteur : Selon l'angle suivant lequel le dahrecteur aborde le voisinage de ce point il se peut qu'il se mette à tourner en rond et n'échappe à son attraction qu'après un nombre de tours conséquent alors que le dahrecteur qui aborderait ce voisinage suivant une direction quelque peu différente passerait son chemin sans subir de perturbation considérable ! Pour comprendre le phénomène nous vous invitons à reprendre votre cornet de frites (surface développable où les géodésiques sont des droites quand vous le mettez à plat), à le mettre à plat , à y tracer différentes droites puis à refermer le cône. Le sommet de ce cône constitue un point singulier. Sur le cône la droite fera d'autant plus de tours qu'elle se rapproche d'une courbe de niveau (voir l'image ci-dessous) .

Sur cette image du cône développé (sommet S, base aa', Sa venant se coller sur Sa') nous avons tracé le segment de droite 1-5 qui se décompose en 1-2, 2'-3, 3'-4, 4'-5. Nous pouvons constater que ce segment de droite fait 4 fois le tour du cône **. Ceci dit en passant, si vous vous reportez au Mathazine "surfaces seinpathiques n° 9", vous pourrez constater, au regard de cette image,  que notre proposition relative au bas résille est quelque peu erronée. A vouloir trop simplifier, on introduit parfois des erreurs. Nous reviendrons ultérieurement sur le cas du bas résille ***.

Notes :

        * Si nous devions envisager une course de dahrecteurs sur une surface seinpathique il ne serait pas aisé de tracer la ligne d'arrivée. De plus, puisqu'en certains points de cette ligne la distance à la ligne d'origine est différente selon la direction suivant laquelle on l'atteint, il se pourrait que deux dahrecteurs l'atteignent simultanément en ayant parcouru des distances différentes ! Il ne serait pas aisé de déterminer le vainqueur en ce cas et ce ne serait pas la photo qui pourrait nous aider à départager.

        ** Vous pouvez décalquer cette image ou l'imprimer et reformer le cône. Vous pourrez ainsi vérifier (aux imprécisions près) que les segments se prolongent sans cassure. Vous remarquerez également que ce cône est assez piquant.

        *** Les pressés qui ne sauraient attendre pourront démontrer ou vérifier que si nous prolongeons la droite qui enroule le cône, elle se croise elle-même en des points qui sont alignés sur deux génératrices symétriques de ce cône (ou bien sur le développement, deux droites dont l'angle au sommet S fait la moitié de l'angle aSa') .